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chacun dans un intervalle, et tels que l'ordre de succession relatif de dewx points 

 quelconques A„, A„ soit le même que l'ordre de succession relatif des points cor- 

 respondants B„, B„, le rapport des recteurs A„ A^ et B„B„, étant compris entre 

 deux limites finies ( ' ), si l'on drjinit au moyen des B certains intervalles in,p 

 de la même manière que les I„_^ au moyen des A , les deux ensembles réguliers 

 définis respectivement par les \„_p et les J„ ^, se correspondront point par 

 point de telle manière que Jeuv points correspondants A' et B' pourront être 

 regardés comme points limites de deux suites (A^), ( B^) composées respective- 

 ment de points fondamentaux de mêmes indices. 



En particulier, on peut choisir pour les B„ les nombres rationnels, et l'on 

 voit que tout ensemble régulier dont les points fondamentaux sont denses 

 dans un intervalle est « semblable » à un ensemble formé des nombres 

 rationnels et de certains nombres irrationnels, caractérisés par la 

 nature de leur approximation 'asymptotique au moyen des nombres ra- 

 tionnels. 



Pour définir et classer toutes les sortes d'approximation asymptotique, 

 on retrouverait évidemment les difficultés « transfinies » bien connues 

 relatives au théorème de Paul du Bois Reymond sur les types de croissance 

 et à l'irrégularité de ces types (non comparables entre eux); ces difficultés 

 sont inhérentes à la question; l'étude des ensembles de mesure nulle ne 

 sera jamais achevée; noas avons dû nous contenter de la ramener à des 

 questions où les problèmes correspondants ont déjà été partiellement 

 étudiés et classés. 



Observons, en terminant, que les fonctions admettant comme singula- 

 rités principales les nombres rationnels et comme singularités accessoires 

 un certain entourage asymptotique (-) de ces nombres apparaissent, 

 d'après ce qui précède, comme l'image d'un type extrêmement général de 

 fonctions discontinues. 



(') Voir mes premières Leçons sur la théorie des fondions, p. i3f, en note. Le 

 tiiéorème énoncé en cet endroit, concernant la possibilité d'établir la correspondance 

 du texte entre deux ensembles quelconques denses dans deux intervalles ég<)ux, 

 s'étend sans difficulté à deux ensembles denses dans deux domaines égaux à un 

 nombre quelconque de dimensions. 



(') La définition de l'entourage asymptotique dépend, bien entendu, de l'ordre dans 

 lequel sont numérotés les nombres rationnels. 



