SÉANCE DU 6 MARS 1911. Syg 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation intégrale du type Volterra. 

 Note de M. T. Lalesco, présentée par M. Emile Picard. 



1. Je présenterai dans cette Note quelques remarques sur l'équation 

 intégrale 



(0 





dans l'hypothèse non encore complètement étudiée où la courbe y = a(a;) 

 est tangente à la bissectrice j' ^= x\ nous supposerons N(o, o) ^ o. 

 En prenant pour inconnue, à la place de ç(a-), la fonction 



(2) A^) = f <f{s)ds, 



''a. (X) 



l'équation (i) revient à la résolution de l'équation 



(3) ^{x,x)f{x)-Ç ^\{x,s)f{s)ds^?{x), 



qui est du type simple, suivie de celle de l'équation intégrale (2). Cette 

 dernière équation se résout immédiatement par un procédé d'itération qui 

 donne, d'une façon générale, 



cp(.ç)^5 = /[a„(a7)], 



et, par conséquent, par addition et passage à la limite 



(4) / <p(5)./*=y/[ap(j;)]. 



Soit 



y = <x{x) = X — x'+V-XAx) [5^,(0) ^o. fi >o], 



l'équation de la courbe. On a le résultat suivant : 



Pour que i équation (i) admette une solution finie ^ il est nécessaire et suffi- 

 sant qu'on att aussi ¥{x') ^ x^'^^F ^{x). L'équation (4) et^ par conséquent 

 aussi, l'équation (i), admet, dans ce cas, une seule solution donnée par sa 

 première intégrale à l'aide d'une série absolument et uniformément conver- 



