58o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



sente. Si de plus o'-{x) est dérivable et si ¥(x) admet une dérivée remplissant 

 la condition de lÀpschitz^ l'équation aura une solution., et une seule, donnée 

 directement par une série uniformément et idjsolument convergente. 



Ces résultats découlent de la relation 



]::: [.,(.)]'-. ^y..(o)^o. 



2. Appliquons ce théorème au problème suivant de la théorie des équa- 

 tions linéaires aux dérivées partielles du second ordre, du type hyper- 

 bolique : 



Déterminer la solution finie et continue de V équation hyperbolique du second 

 ordre qui, sur les deux courbes régulières C, et C2 : y = a, (a?) et y := oL^i^), 

 prend les valeurs données p, (x) et ^-^i^^) respectivement. 



Dans le cas où les courbes C, et C, sont tangentes entre elles à l'origine, 

 on obtient le résultat suivant : 



Pour qu'il existe une solution finie et continue de l'équation hyperbolique 

 remplissant les conditions demandées, il est nécessaire et suffisant que les courbes 

 de l'espace G, et G.,, 



(G,) y = a.,(x), 2 = (3,(,r). 



(Gj) y = c>..i{x), z=l^^{œ), 



aient un contact d'ordre au moins égal à celui des courbes C , ef C^ ; dans ce cas, 

 la solution est unique. 



On obtient ce résultat en appliquant simplement la formule de Riemann, 

 qui nous donne une équation intégrale de la forme 



V{x)—j u{x,s)\-^a.\{s) 



Ox 



ds { A(a-) = cx7'[a5(A-)] j, 



OÙ le noyau u{x,s) représente la fonction de Green u[x, aj(a;);5, a,(,ç)J, 

 introduite par Riemann, fonction qui, pour x = s = o, est égale à l'unité, 

 et F(a;) une fonction dont l'ordre infinitésimal est égal à celui de 



(3,(x)-(3,(^). 



