SÉANCE DU l3 MARS 1911. 679 



Préliminaires. — iNoiis disons qu'une figure plane [/. est un domaine 

 simple lorsqu'elle esl bornée, ouverte, connexe et, de plus, lorsque sa fron- 

 tière/coïncide avec la frontière de la partie illimitée du plan. Désignons 

 par K une ligne polygonale, telle que le nombre de ses sommets vrais soit 

 fini. Une ligne K issue d'un point de u., et allant jusqu'à un point qui 

 n'appartient pas à a, coupe/; soit C le premier point deK sur/. Désignons 

 par I l'ensemble de tous les C. Soient C,, C., C, trois points quelconques 

 de I, et soit / une circonférence située dans [jl; parcourons-la de manière 

 que l'aire renfermée par elle soit à droite. Joignons C,, C.j, C^ avec / par 

 des K,, K2, Kj situés (excepté leurs points de départ) dans [jl, ne coupant/ 

 qu'une fois dans les points E,, 1%, E3, de sorte que deux à deux ils n'aient 

 pas aucun point commun. L'ordre circulaire des E,, E^, E3 ne dépend que 

 des C,, C^, C, et il définit un ordre circulaire pour les C,, Co, C,. I sera 

 ainsi circulairement ordonné. Répartissons les points de I en quatre ligures 

 a, p. Y, 0, telles que chacune d'elles contienne une infinilé de points et que 

 C„, Cp, Cy, Cj étant respectivement des points quelconques de a, p, y, ci, 

 leur ordre soit C^, Cy, Cp, Cg. 



Considérons la surface / = o dans l'espace //, v, l. Soient ^,, ^.,, v],, yj^ 

 des constantes telles (|ue \{lo — l,).(ri., — v), )| >■ o. Désignons par i',, (^'^) 

 la projection orthogonale de la section z = ^,, (^^)de / = cp sur le plan de P. 

 De même, désignons par y),, (y].',) la projection orthogonale de la section 

 ^ = y]i,(y]j) de < = ■]/ sur P. E,, ^^, '/],, -q., étant convenablement choisis, il 

 peut arriver que P contient un (a tel que ses a, p, y, soient situés sur 

 ^i, l„, ï], , r,'., respectivement. Lorsqu'un tel ii sera considéré comme un D 

 on peut prendre a = |(^2 — ^O-i^a ~ '"li ^1 (<^^ fait résulte des propriétés 

 de la frontière de D). 



Considérons un d dont tous les D aient les propriétés signalées, les 

 constantes ^,, ^.^, yj,, y).j étant, bien entendu, en général, variables avec 

 les D. Considérons l'ensemble qui est formé par tous ces d. Posons pour cet 

 ensemble L = A. 11 peut arriver que quelles que soient les ^,, ^.^, ri,, yj^» 

 D n'existe pas. Posons dans ce cas A = o. On voit que A dépend de cp et j'. 

 Soient B et V les quantités analogues à A relatives k f el y^, puis à ■]/ et y. 

 Posons S = A -+- B + F. On en déduit les résultats suivants : 



Lorsque S = o o» a ï = o et réciproquement. S <^ -l-3c est une condition 

 nécessaire pour que T soit fini. 



Dans le cas oii K est une image biunivoque de P, on a S > o, donc l'aire 

 d'une telle surface est plus grande que zéro. 



