68o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de Dirichlet relatif à une 

 couronne circulaire. Note de M. Henri Villat, présentée par M. Emile 

 Picard. 



J'expose dans ce qui suit une résolution directe et effective du problème 

 de Dirichlet pour une couronne circulaire. La formule obtenue est à rap- 

 procher de la célèbre formule de Poisson relative à une circonférence. 



Soit à trouver la fonction harmonique V{x,y), régulière dans la cou- 

 ronne, et prenant sur les frontières, extérieure et intérieure, les valeurs 

 «I>(0) eiW(^), aux points d'argument 0. Les deux fonctions $(0) et V(6) 

 ne seront assujettis qu'à satisfaire aux conditions de Dirichlet (d'ailleurs 

 non toutes nécessaires, comme je le démontre ailleurs). Enfin, on peut 

 toujours supposer (au moyen d'une homothétie préalable) que les rayons 

 extrêmes de la couronne soient i et y(-< i). 



.Te démontre d'abord qu'on peut toujours ramener le problème au cas oiî 

 l'on aurait la relation 



(i) r <b{fi)d6=f W(e)de. 



Ceci posé, je déterminerai une fonction 



-Q (::) = i! ( JT + e» == F {.r,y) + i(){x.y\ 



dont la partie réelle P(a;, j') soit la fonction harmonique cherchée. A cet 

 effet je construis une fonction fondamentale 0„(3) dont la partie réelle 

 prenne : 



Sur la circonférence de rayon i, la valeur constante a le long d'un arc 

 d'angle au centre 2Z„, et la valeur zéro sur le reste de la circonférence; 



Sur la circonférence de rayon y, la valeur constante ^ le long d'un arc 

 d'angle au centre ■2t,(oLt„ = ^f>), et la valeur zéro sur le reste de la circon- 

 férence. 



Introduisons les fonctions elliptiques construites avec les périodes : 

 2 0) (réelle), 2(1)' (imaginaire pure), dont le rap[)orl(qui seul intervient dans 

 ce qui suit) soit déterminé par la relation 



q — e '^. 

 Je parviens alors à montrer qu'on peut mettre la fonction fondamentale 4», 



