SÉANCE DU l'i MARS îpîl. 



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SOUS la forme 



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Ceci étant, la superposition d'un certain nombre de fonctions fondamen- 

 tales permet de construire une fonction de z, dont la partie réelle prenne 

 des valeurs constantes a,, a,, ..., a„, le long de n arcs en lesquels on aurait 

 subdivisé la circonférence |^| ^ i, et des valeurs constantes p,, ^j, ..., p„, 

 le long de n arcs de la circonférence |s| = y. De là, par un passage à la 

 limite, on est conduit à écrire pour la fonction Q{z) la formule suivante, 

 valable peut-être dans la couronne : 



(3) 



o 



(-)■ 





(5)- 



■7- l0S3 



\ir. " T. 



■db 





• log; 



^9) 



71 ,/ 



I02 - 



T. ' 



M. 



Ce résultat obtenu, il est essentiel d'en démontrer la légitimité, qui est 

 loin d'être évidente. A cet effet je fais voir : 



i" Que la fonction i2(5), définie par (3), est continue dans la couronne; 



2" (^ue sa partie réelle P (^.r, y) y est cowûnwejusqu aujc frontières \ excep- 

 tion faite des points de celles-ci où 'Pi 6) et ^\0) seraient supposés discon- 

 tinus] et qu'elle tend bien vers les v::leurs données $(0) et W{^) lorsque 

 le point (a*, r) tend vers le point correspondant d'une circonférence limite. 



Si la condition (i) n'est pas supposée vérifiée, je montre qu'il suffit de 

 remplacer la formule (3) par la formule 



(4) 9.{^-)-- 



f '*( 



5) 





ir. 



log: 



Z^) 



«71 





(^) 



<co \ir. ' n / 



I 



27r 



l'xl 



r.'ji' 



'oK^j - 'i 



I / /<.) 



ITT \ TTOJ 



J 



■Ib. 



Le problème de Dirichlet est ainsi complètement résolu par des formules 



C. R., 1911, \" Semestre. (T. 108, N- 11.) i^^ 



