SÉANCE DU l3 MAKS IpII. 683 



point dont les coordonnées, relativement à un système d'axes rectangu- 

 laires, sont respectivement a, ^, y. 



Soit (A,) une face de II. Dans celle-ci considérons plus spécialement l'un 

 de ses sommets A, et l'une des deux arêtes passant par A,. A ces trois 

 éléments (face, arête, sommet) on peut rattacher une substitution unimo- 

 dulaire 



(2) a-,= 2f^f^«^' (^-1,2,3) 



caractérisée par le fait que le déterminant de ses exposants, d'ailleurs tous 

 entiers positifs ou nuls, est égal à ± i . 



Cette substitution effectuée dans (i), après suppression d'un facteur égal 

 au produit de certaines puissances entières de ^,, H.j et H,, donne 



Le premier membre de (3) est holomorphe en ^,, ;„, ^j; :p^, correspond 

 aux points situés dans la face (A,). 



Dans le cas où ^2 = a^, ^3 = cc.^ sont deux quantités finies, coordonnées 

 d'un point simple de la courbe cpA, = t>i f*" obtient immédiatement, pour un 

 domaine bien délimité de l'élément (i), une représentation 



(4) -Pi =■;,' S2' [P(^>- ;2|o, ao)| ' • 



(1= 1,2.31 



P(^i, ^al") ^2) représente un développement holomorphe dans le voisinage 

 de i, = o cl ^2 = «2- 



Quand (a^,, a^) est point multiple de cp^», = o on se trouve en présence 

 d'un point singulier de (3). Ce point se traitera de la manière qui vient 

 d'être décrite. La réduction s'achèvera toujours lorsque l'élément (i) est 

 élément unique. 



Considérons la face (A,). Supposons-la finie. A chacun des sommets du 

 contour qui la limite se rattache une courbe 'j»/^. =^ o. Ces courbes se 

 correspondent point par point et l'on peut montrer qu'à un point à l'infini 

 de l'une correspond dans l'une des autres un point dans le fini. Il en résulte 

 qu'à chaque face (A,) de II correspond un ou plusieurs systèmes de rela- 

 tions (4), systèmes qui séparément forment chacun un tout et qui sont tels 

 que chacune des relations (4), qu'ils renferment respectivement, peut dans 

 chaque système s'obtenir de l'une d'entre elles par prolongement analy- 

 tique. Ces systèmes constituent donc des cycles de l'élément de surface 

 considéré. La conclusion se modifie quelque peu si la face considérée (A,) 

 s'étend à l'infini. 



