SÉANCE DU 20 MARS 1911. 753 



je me suis borné à rélude du g:enrf le plus simple de ces continus, des arcs 

 simples. Pourtant le continu irréductible AB est aussi susceptible de 

 théorèmes tout à fait généraux et mérite d'être étudié ('). 



La seconde partie de ma iVotc en cjuestion nous montre déjà une propriété 

 générale d'un arc irréductible, qui n'est pas simple (nous nous bornons 

 naturellement à ceux-là, les arcs simples étant étudiés à part). Elle 

 exprime qu'il y a sur un arc irréductible non simple AB deux points M et 

 A (M=^]\) tels que soit AMsisAN, soitBMEEEBX, et que dans le voisi- 

 nage de M et de N il existe un continu de condensation (-). 



Je vais démontrer à présent que M et N sont eux-mêmes situés respecti- 

 vement sur un continu de condensation. Je remarque que ce théorème 

 ne dérive point du précédent et n'est nullement évident. On peut en effet 

 construire un continu, dont tous les points sauf uk appartiennent à fies 

 continus de condensation. 



I. Etant donné un continu irréductible à la fois entre A et B et entre A 



et (l (B^C), cest-à-dtre 



Ali^AC 



et sur lui un B(] quelcohfjue (^ ) on a, pour chaque point M de ]>( !, soit 



soit 



AM = AH. 

 BM = CM = BC. 



Distinguons deux cas : 



I" A M contient B. 



Comme A M est un sous-eusemble de AB 



AM = AB. 



Cette identité montre en même temps qu'il n'existe sur AB qu'un seul 

 continu irréductible entre A et M; 



2" A M ne contient pas B; dans ce cas, il ne peut pas contenir C, car 

 autrement il contiendrait AC, c'est-à-dire AB, donc B. 



Considérons sur BC deux continus irréductibles quelconques, l'un entre 



(') VoirZoRETTi, Comptes rendiix, t. I,ïl, n" 3. 



('") C'est-à-dire un soiis-ensenible continu .K d'un continu donné Z. tel que 

 l'ensemble dérivé de C-'H contient ;X. 



(') \oir le tliéoiènie I de ma Note citée et la Note de M. Mazurkie» icz {Canipfo; 

 rendus, l. 151, n° h). 



