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/,, . . ., /„, /„4.| 1^ (), l^^.., =^ I et oc, réguliers au sons de L. Fuchs, et n points 

 apparemment singuliers, X,, ..., A„. Dans une Note précédente (' )j'ai mon- 

 tré que, pour que le groupe de (E„) soit indépendant des /,, il faut que les >>y 

 vérifient un système (y„, F„) d'équations aux dérivées partielles dont l'in- 

 tégrale dépend de -m constantes arbitraires; considérées comme fonctions 

 de l'un des paramètres /,, les combinaisons symétriques des A, ont leurs 

 points critiques indépendants des constantes arbitraires. Dans cette Note 

 j'examinerai un cas particulier où (_/„, F„ ) admet toutes les solutions d'un 

 système aur dérivées partielles d'ordre n. 



1. Appelons (\'''„) une équation ( F„) admettant une intégrale >', dont la 

 dérivée logarithmique est rationnelle. On a nécessairement 



yi = 



= ['K-^'^r^n('^ -'/)'■ 



)\i •|>(.r ) = rTf.r- — Ay). l'our que le groupe G de F,', soit indépendant 



; = i 



des /,, il faut que A,, . . ., A„ vérifient le système eomplèlcinent intégrable 



^ ^ <\,(ti)oO,j) ["y' r-ar,. ■ir, 1 



Oti 9' ('-)+' ( >v ) ( N -ti)\ ^^ 'tj - tu ■ h - '- J 



(•) ^ = ,,.,:...:-/:,■:: .j >.t-^-^— vi i',./-..'.^. ...,'0(^), 



où fÇ'i') = 1 1 (■'^' — t/). Toutes les solutions de ( i ) ap[iartienneiil à (/„, ''«)■ 

 (=1 

 Ce système s'intègre de la façon suivante. Soit t., la fonction symétrique 



élémentaire d'ordre i de A,, ..., A„; posons (Tv=;0,;0^'; on peut choisir 

 les Ov de telle sorte qu'ils vérifient un système linéaire d^ ordre « + i ; d'une 

 façon précise, on a 





I où Ton a k = I H- V (2/-, — i ), et où s., et .y!, désignent les fonctions symé- 

 L /=i 



triques élémentaires d'ordre v de /,, ...,/„ et de /, , ...,/, 1 , ',+,, •■•,/„ \, 



(') Comptes rendus, t. 151, p. 2o5. 



C) L'indice i placé à la droite du signe i signifie (|ue l'indice de soniinatioii ne 

 peut prendre la valeur i. 



