SÉANCE DU 20 MARS I9II. 'J^'] 



et 0„ vérifie le système 



^^'' '>Z^ t,{ti—^)(t,~-i,) <n,. t,(t,-i) "' 



Considérée comme fonction de /,, 0„ vérifie une équation différentielle 

 d'ordre n + i identique à celle de l'ochliammer ( ' ); 0„(/,) est donc une 

 fonclion hyper géométrique d'ordre supérieur. Ainsi, pour n = 1 , on retrouve 

 l'équation de(jauss, ce qui était immédiat, le système (i) se réduisant à une 

 équation de Riccati (-). Four n^-2, le système (S.,) avait été rencontré 

 déjà par M. Appell(') et par M. Picard(''). Toutes les propositions établies 

 par M. Appell pour le système ( S3) s'étendent à (S^^, ); en jiarticulier, on 

 peut représenter 0„ à l'aide d'intégrales définies, simples et multiples, et 

 à l'aide de séries telles que 



-+-00 +00 



■y _ V (s(, /»! +. . . + /«„') f|3|./»i). ■ .(jS,,. m„) ^„,_ ^,„^^ 



wi.=:0 ni,.~0 



2. J'ai retrouvé ces résultats par une tout autre méthode, basée unique- 

 ment sur la considération du tfroupe (i de (E|,). J'ai démontré ainsi que a-,, 

 est égal au quotient A.,\^' de deux déterminants A, et A„ formés de la façon 

 suivante : soita, une quantité indépendante de /,.../„; posons e'-'^'''^ := s, et 



n+i 



^.wJJ(^ — /,)-^'-'-(/.r, 



OÙ h, représente un chemin fermé, d'origine x,^ fixée une fois pour toutes, 



(') Journ.fiir reine and angew. Malh., Bd. 71, 1870. p. 216; Cf. Tissot, Journal 

 de Liouville, i"-" série, t. XVII, i852, p. 177. 



(^) Dans ce cas particulier, ce résultai avait été obtenu par M. H. Fuchs {Math. 

 Ann., t. LXllI, p. Sig). 



(') Comptes rendus, i8(So, i'' et 2" semeslies; Journal de Liouville, 3" série, 

 t. II, 1882, p. 173. 

 (*) Ann. Ec. Norm., 2" série, t. X, 1881, p. 3o.5. 



C. R., 1911, I" Semestre. (T. 15'2, N- 18.) 9^ 



