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S'il existait une correspondance entre E„+| et 1%+/,+, (/;>o) ('), il y 

 aurait une hypersphèrc S„ de l'>„^, dont la transformée s„ diviserait E,,^^,^., en 

 régions. Or soit a„ une variété polygonale voisine de 5„et lui correspondant, 

 elle ne divise évidemment pas E,,^^^., en régions, donc sa transformée S„ ne 

 divise pas E,,^., en régions (-). Or, on va montrer que toute S„ voisine 

 de S„ divise E,,^, en régions en prouvant qu'un rayon indéfini OA de S„, 

 porté par la droite D, rencontre en un nombre impair de points toute 2^„ 

 polygonale voisine de S„. 



Soient P„ la variété linéaire perpendiculaire à OA en O, S,,., la section 

 de S„ par P„, Z,',,, la transformée de S„_ , sur Ii„, Z„_, la projection de 1„_, 

 sur P„, 1), celle des deux calottes de 1,,, limitées par !,',_,, qui est du côté 

 deOA. Quand on déplace D parallèlement à elle-même la parité du nombre 

 de points de rencontre de D et de 2,', change quand et seulement quand D 

 traverse (') D^,_,, donc L„_,. 11 faut donc prouver que, quand D s'éloigne 

 indéfiniment, le nombre de traversées est impair; c'est-à-dire prouver pour 

 -«-I lH S„_, la même chose que pour S„ et S„. La proposition est évidente 

 pour « = 2, le théorèrtie est démontré. 



Le raisonnement précédent est en relation intime avec celui grâce auquel 

 M. Jordan prouva que toute courbe plane fermée sans point multiple (/,)' 

 partage le plan (E^) en régions. Convenablement modifié il permet de 

 généraliser ce dernier théorème. 



Disons que deux variétés T„ et T^, de l'espace E,,^.,,^, sonl enlacées si, /„ 

 et /^, étant deux variétés polygon'ales correspondani à T„ et T^, et très voi- 

 sines de celles-ci, au cours de la déformation continue réduisant /„, par 

 exemple, à un point non situé sur A,„ il y a un nombre impair de traversées 

 de If, par /„. 



Le théorème de M. Jordan affirme qu'étant donnée une courbe /, dans 

 un plan 1% il existe un système de deux points /„ enlacé avec /,; on le 

 généralise en disant : 



(') Il Mjfnt que la correspoiidniice e\isle pour fies points foriiinnl dans E„_,_| el, E„j^,.,.| 

 (les ensembles ayant des points intérieurs. Si celte condition n'était remplir ipie pour 

 E/i+p-i-i, il faudiait modifier légèrement le raisoiinennent. 



(') Les variétés polygonales telles que a,, el i„ peuvent se recouper ellfs-nièines. 

 Les cories|iondances ne sont plus géométriquemenl binnivoqiies. 



(^) Il faut distinguer Ircnerser el rencontrer. Ici, en projection sur I'„, la distinc- 

 tion est évidente. Four deux \arietés linéaires 1'/, el P/ de E/,^^;^, qui vont avoir un 

 point commun, la distinction se Fait d'une façon analogue, en menant par V/,. la variété 

 linéaire \'/.+/ parallèle à P, et en rei;ardanl si P/ passe d'un côté de P/,+/ à l'autre. 



