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connaître une méthode uniforme réunissant tous ces cas. Posons 



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[Siz)-i-ff'{z')]; 



g (z) est une fonction analytique de la variable z = x + iy, infinie en m 

 comme log-; sa partie réelle est nulle sur C. g'(z') est la fonction imagi- 

 naire conjuguée. 



On sait faire le prolongement analytique de g- au delà du bord C ; si C 

 est algébrique, on peut étudier ce prolongement dans tout le plan, trouver 

 toutes les singularités de g, et en former une expression valable dans le plan 

 entier. On reconnaît que la forme de g dépend essentiellement de la dispo- 

 sition des foyers de la courbe C; on devait s'y attendre d'après la théorie 

 des caractéristiques. 



1° Lorsque l'aire A ne contient pas de foyer, g est une intégrale abé- 

 lienne de troisième espèce attachée à C; comme exemple, je citerai l'aire 

 extérieure à une courbe de genre 3, composée de quatre ovales. 



2° Si l'aire A est extérieure à des cercles non sécants, -r est analogue à 



az " 



une fonction fuchsienne ou kleinéenne d'ordre un, relative à un poly- 

 gone générateur symétrique de troisième famille. On forme facilement son 

 expression en admettant la convergence des séries d'ordre un. Je crois 

 avoir démontré cette convergence dans le cas fuchsien, et aussi dans le 

 cas kleinéen, lorsque les rayons des cercles sont suffisamment petits. 



On en déduit l'expression d'une fonction fuchsienne de la troisième 

 famille par un produit infini, connaissant ses pôles dans le polygone géné- 

 rateur. 



3° L'aire A est une couronne limitée par deux cercles concentriques de 

 rayons i et R> i ; le groupe fuchsien correspondant provient d'une seule 

 substitution fondamentale. Soient (So, z'^) le point singulier de g, et a la 

 fonction de Weierstrass aux périodes 



2W,= logR-, 2f.)2=2 7:«', 



ij). 



.(log^) 



On en déduit la fonction g pour l'aire annulaire balayée par un ovale qui 

 appartient constamment à une famille isotherme algébrique; dans l'expres- 

 sion de g entrent des fonctions elliptiques et une intégrale abélienne 

 attachée à l'une quelconque des courbes de la famille. 



