SÉANCE DU 27 MARS ipir. 845 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la notion de diffèrenlicUe. 

 Note de M. Maurice Fréchet, présentée par M. P. Appcll. 



Je me propose de montrer que la définition généralement adoptée pour 

 la différentielle d'une fonction àa plusieurs variables présente, aux points de 

 vue logique et pédagogique, de graves inconvénients qu'on peut éviter en 

 modiliant cette définition. 



On convient généralement de dire qu'une fojiciioii de plusieurs varialjlesy(.j-,y, . . . ) 

 admet une dill'érentielle au point (.'o.Joi •••^ lorsqu'elle admet en ce point une 

 dérivée partielle par rapport à chacune des variables; et cette (liii'éreiilielle est 

 alors /,..A.r+/;-„A7+.... 



Or si l'on se donne la peine de coinpaiei' les énoncés des tliéorémes fondaHienlaux 

 du Calcul dilléientiel, relatifs, les uns au cas d'une variable, les autres au cas de 

 plusieurs variables, on sera frappé de ce fait que, là où les uns supposent seulement 

 l'existence de la différentielle en un point, les autres imposent des conditions supplé- 

 mentaires telles que l'existence de la dillerenlielle dans une région et même sa conti- 

 nuité. Il est facile de montrer que sans ces lijjiolliéses, les énoncés seraient inexacts. 

 Et, d'autre part, on se rend bien compte que ces hypothèses sont trop restrictives. 

 En d'autres termes, la délînilion usuelle tle la différentielle pour le cas de plusieurs 

 variables est théoriquement trop large, pratiquement (c'est-à-dire juxtaposée à ces 

 hypothèses supplémentaires) trop étroite. 



La délinitiou usuelle a encore d'autres défauts tels que de faire dé))endre l'existence 

 de la différentielle du choix des axes de coordonnées choisis pour les variables jc, 

 y, . . . , et de ne pas faire assez ressortir son importance dans la méthode des inlini- 

 ment petits. 



Je voudrais montrer qu'on peut donner une nouvelle définition ([ui n'est 

 plus sujette aux mêmes objections. 



La définition que j'ai en vue est d'un caractère analytique; mais afin qu'on 

 ne puisse lui reprocher d'être artificielle et choisie arbitrairement, jc la 

 présenterai d'abord sous une forme géométrique exactement équivalente et 

 qui tnontre mieux combien elle est naturelle : 



Une fonction f {x, y) a une différenlielle à mon sens au point (-«■„) J'g), i« la 

 surface z ^=f(^x,y) admet en ce point un plan tangent unique non parallèle 

 à O: : z — z^=p{x — 0*0 ) -I- q{y —y„ ). Et alors cette différentielle est par 

 définition l'expression 



p A.r -T- <i J[/. 



où \x^ ly sont des accroissements arbitraires de x, v. 



C. 1;., 1911, 1" Semestre. (T. 153, N° 13.) IO9 



