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11 est à peine utile de faire observer que si une fonction admet une diffé- 

 rentielle à mon sens, elle en admet une au sens ordinaire (et c'est la même). 

 Mais la réciproque n'est pas vraie. 



La forme analytique de cette définition est la suivante : 



(hie /onction /(.r, y, z, t ) admet une différentielle à mon sens au point 

 (^a\,yin '■!>' 'o) s'il existe une fonction linéaire et Jwmogéne des accroissements , 

 soit A . A.r -+- B. Ay H- (>. As -l- 1 ). A/, qui ne diffère de r accroissement \f de la 

 fonction à partir de la valeur fi^.u^^, y„, z„, /„) que d'un infiniment petit, par 

 rapport à l'écart A des points (a^^, j„, s„, /„), (a-„-hA-r, . . ., /„ + A/„). 

 Et alors la différentielle est par définition 



f//'=:A.A./' -H B.A/-+-C A.- + D.A/. 



On peut entendre par écart des deux points l'expression ]Ax|-+- . . .-t-|A/| 

 ou \l^x--\- . . . -r- \l'^ ou encore la plus grande des quantités |Ar|, . . .,|A/|. 

 (]ette définition est exprimée par la formule 



A/=^/+cA, 



où z tend vers zéro quand A tend vers zéro. Elle rappelle donc l'ancienne 

 définition par la partie principale et eu présente tous les avantages, mais en 

 échappant aux objections de rigueur qu'on lui avait justement adressées. 



Je montrerai d'ailleurs qu'au moyeu de celte nouvelle définition, on peul développer 

 les principes fondamentaux du Calcul différentiel, d'une façon aussi élémentaire qu'avec 

 l'ancienne définition ; et qu'on obtient des énoncés qui, se modelant sur ceux qui sont 

 relatifs au cas d'une variable, sont à la fois plus simples et plus généraux que les 

 énoncés classiques. Je mentionne qu'on peut traiter de même le cas des différentielles 

 d'ordre supérieur. 



Mais je tiens enfin à insister sur l'avantage essentiel que présente cette 

 définition. l*>lle est immédiatement propre à une généralisation dans le calcul 

 fonctionnel. M. Hadamard a indiqué une condition à laquelle doit logi- 

 quement satisfaire la variation d'une fonctionnelle : c'est d'être une fonc- 

 tionnelle linéaire. Si l'on tient compte d'une part de cette indication, d'autre 

 part de la nouvelle forme donnée plus haut à la définition de la dilléren- 

 tielle, on arrive, presque nécessairement, à la définition suivante (dont je 

 me propose d'indiquer aussi les applications). 



Une fonctionnelle U^ admet, pour l'élément A^, une différentielle, s'il existe 

 une fonctionnelle linéaire par rapport à l'accroissement AA, soit \ \^, qui ne 

 diffère de l'accroissement de U^ ù partir de Ao. que d'une quantité infiniment 

 petite par rapport à l'écart des éléments A„, A„ -h AA. 



