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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sitr l'ëcjuation intégrale exponentielle. 

 Note (') de M. (i. Bratu, présentée par M. Emile Picard. 



1. Soit l'équation fonctionnelle 



(i) cp(^) = )> ^ K(.r, r)e9(y)£^K, 



que nous appelons équation intégrale exponentielle. 



Si l'on a 



K(,r,,r) = A(x)B(y), 



sa solution est 



(2) 9(a;) = <A(.r), 



la constante t satisfaisant à l'équation 



(3) l — l( Q(y)e"'^y'dY — lh(t). 



Soient ^,, ^2, . . ., t„, les racines de l'équation 



(4) f B{y)lk{y)l-,]e'^Wdf^o. 



L'équation (3) fait correspondre à chaque valeur Z, une valeur X, pour "k. 

 Soient encore t,, Tj, . • . , t^ les pôles réels de \. Construisons la courbe C, 

 qui représente la variation de A en fonction de t et soit X/_| <^5 ■< X,. La 

 droite X — 5 (D) coupe la courbe (' en un certain nombre de points : M,, 

 Mo, ..., M|x. A chaque point M il correspond une valeur / et une solu- 

 tion (2) de l'équation (i). On a donc pour X = .y les jx solutions réelles 



(5) cpi, <P2, ..., tppi. 



Lorsque X en croissant devient égal à X,-, la droite variable D devient 

 tangente à C au point X = X,, f = /,. Si ce point est un maximum de la 

 courbe C, deux des solutions consécutives de la suite {5) se confondent en une 

 seule^ et pour X >> X, l'équation (i) 71' admet plus que [J- — 2 solutions réelles. 

 Si X, est un minimum de X le long de C, lorsque X passe par la valeur X,-, 

 dapparaît deux solutions nouvelles dans la suite (5). Soit X„ la plus grande 



(') Présenl«e dans la séance du 10 avril 191 1. 



