SÉANCE DU l8 AVRIL 1911. Io/)9 



des valeurs singulières X,. Pour X > X„ l'équation (i) n'admet plus que 

 q solutions (p^q <^ -P)-i ^^ pour A ^ 4- 00 on a /> solutions limites. 



Si B(j) est positif, p est nul. Si L(o) = o et L'(o)7to, il existe un 

 intervalle (— À,, -1- X,), dans lequel l'cqualion (i) n'admet pas de solution 

 (sauf 5 = pour X = <>). 



Ces résultats s'étendent à l'équation fonctionnelle 



"^0 



2. Soit K(.r,r) = A.(^)B,(7) + A,(a7)B,(j) + ... + A„(a.)B„(7). 

 En suivant la méthode de M. Goursat (') on trouve comme solution de 



l'équation (i) 



9{j,-) = /, A,(x) -H <2A,(jr) H-. . .+ <„A„(^), 



les constantes t,, t.,, . . ., t„ étant les solutions du système 



V. 'jA,(.ri 



' B,(j)e'=' dv (i 



n 



.,«). 



Pour X = G on a /, = /o ^ . . . = /„ = o et les équations (6) admettent un 

 système de solutions et un seul /,= F,(X), les fonctions Frétant /lolo- 

 morphes autour de X ^ o. Représentons dans le plan des coordonnées t, X 

 les courbes C,[/ = F,(X)] et soit inversement, sur la courbe C,, X,^^ ^i(0* 

 On a 



A„ etD, étant des déterminants d'ordre n. Par suite, en général, tout zéro 

 de ^nC^) est (tn mnxi/num ou mi'nùfuim commun dex fondions $,(^). 



Si B,(j')>o, les fonctions 4>,(/) vont en croissant à partir de t = o 

 jusqu'à une valeur X = X,, qui est un maximum commun. Pour X = X, — e 

 les équations (6) admettent au moins deux systèmes de solutions z/,, c,- et 

 l'équation exponentielle (1) admet au moins les deux solutions 



<B, = lii, A,(^), 92 = -<'i A,(x). 



Lorsque X croît et tend vers X, ces deux solutions se confondent en une 

 solution limite. La fonctiim o(.z',j') admet le point X, comme point de ramifi- 

 cation . 



(' ) E. Goursat, lieclierclies sur les équations intéj^rales linéaires (Annales de 

 Toulouse). 



C. R., 1911, I" Semestre. {T. 152, N° 16.) l35 



