SÉANCE DU 24 AVRIL 191I. IO79 



T étant pris pour tétraèdre de référence, on trouve pour l'équation de S 



3:f jj^xj J-? = const., a -t- j3 + y -r ô = o, 



c'est-à-dire une surface W de Klein et Lie. 



Géoinctriquenient il est presque évident que les réseaux focaux de la 

 congruence fournie par les droites MM' sont des réseaux R. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales simples de première espèce 

 attachées à une surface algébrique. Note de M. FraxcescoSeveri, pré- 

 sentée par M. Emile Picard. 



Ou sait, d'après M. Picard, que la conslruclion des intégrales simples 

 de première espèce allachées à une surface algébrique irrégulière f, se 

 ramène à la détermination de trois polynômes, d'un ordre déterminé, 

 satisfaisant à une équation différentielle, qui revient, en dernière analyse, 

 à la condition d'intégrabilité (Picaud et Simart, Théorie des fonctions 

 algébriques., t. I, p. 119). 



Toutefois, pour achever la théorie, il faut déterminer d'une façon géomé- 

 trique les fonctions rationnelles A, B qui cuLrenl dans une dilférentielic 

 totale de première espèce, A.dx -\- ïidy, attachée à f. En d'autres termes, 

 il s'agit de caractériser les A, B par rapport aux singularités de f, en don- 

 nant ainsi l'extension aux différentielles totales algébinques, de la construc- 

 tion classique des différentielles abéliennes de première espèce au moyen 

 des courbes adjointes. 



J'arrive à la construction suivante : soit m l'ordre de la surface y douée 

 de singularités ordinaires et d'équation 



(1) f(x,y,z) = o. 



Considérons d'abord une surface adjointe P = o, d'ordre m — 2, passant 

 par la droite à l'infini du plan r = o et par les points de contact des plans 

 y = const., tangents à /. Une telle surface P = o doit exister nécessaire- 

 ment dès que / possède des intégrales simples de première espèce. Soit D 

 la courbe d'ordre m — 3 coupée ultérieurement par P := o sur le plan à 

 l'infini. Considérons ensuite une autre surface adjointe d'ordre m — 2, 

 Q = o, passant par la droite à l'infini du plan x = o, par les points de 

 contact des plans ^= const. et par la courbe D. Ces conditions déter- 



