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minent la surface Q d'une façon unique et l'expression 



P dx -H Q dy 



est une différentielle totale de première espèce attachée à f. En variant le 

 polynôme P sous les conditions posées, on obtient ainsi toutes les diffé- 

 rentielles de première espèce. 



La démonstration s'appuie sur le théorème suivant : La condition pour 

 qu'une intégrale abélienne de première ou de deuxième espèce 



(2) / K{.r,Y,z)djr, 



déterminée rationnellement sur la courbe irréductible (1),' oii y est envisagé 

 comme un paramètre^ ait les périodes indépendantes de y, c'est que l'inté- 

 grale ne devient jamais de troisième espèce pour des valeurs particulières 

 du paramètre. 



Je vais exposçr ici brièvement la démonstration de ce théorème. 



Soit R^ la surface de Riemann de genre/;, qui représente la fonction :; de 

 X, définie par l'équation (i), lorsque y est envisagé comme un paramètre. 

 On sait que tout cycle de Rj- peut s'exprimer au moyen d'une combinaison 

 à coefficients entiers de 2 /j cycles distincts, parmi lesquels r cycles inva- 

 riants, dont chacun revient en lui-même par toute circulation de y, ip — r 

 autres cycles, dont chacun, tr, peut se réduire à un point simple de la sur- 

 face f par une variation convenable de y et par suite de R, (Picard et 

 SiMART, t. II, p. 332, 397). 



Cela rappelé, supposons que l'intégrale (2) demeure de deuxième (ou 

 de première) espèce quel que soit y et que la courbe A = ao ne renferme 

 aucune des sections y r= const. Soit («, /», c) le point de /(point de contact 

 d'un plan /= è tangent à /) auquel se réduit le cycle a- lorsquejK aboutit à h. 

 Comme l'intégrale (2), quel que soitjK, n'a pas de périodes polaires sur la 

 surface Ry, on aura tout d'abord co(è) = o, co(j) étant la période de (2) le 

 long de (T. Mais je dis qu'on a aussi 



o>'(<!') = w"(A)r=... = o, 



de sorte que w (y) étant une fonction holomorphe dans le domaine àcb. 

 résulte identiquement nulle. 



Pour ce but il suffit de remarquer que les intégrales 



(3) y^rfx, f'-^,d.v, .... 



