SÉANCE DU !'■' MAI 1911. n/|5 



ou pour les résolvaii/es dont dépendent 



'f)z\" dy'- ày' 3/ ày-' 



ûy J ()z dz 2\ àz 



ày dy \0y I 



une solulion rationnelle dansle domaine de rationalité auquel appartient A(.r, y). 



Je me suis proposé d'appliquer cette théorie générale à l'équation différentielle des 

 lignes de courbure de la surface des ondes de Fresnel, en d'autres termes de délei- 

 minev le groupe fie rationalité de cette équation qui a donné lieu à de nombreuses 

 recherches (Bertrand, Combescure, Brioschi, etc.) 



L'élude de l'intéressante Note consacrée par M. Darboux ( Théorie des surfaces, 

 t. IV, Note \'11I) à la surface des ondes m'a permis de traiter la question comjdé- 

 lement ; j'adopterai les notations de l'éminent géomètre. 



2. La surface étant définie par les équations 



V. V. -70 o «X- ^V^ cZ^ 



X-+V+Z-=p, _^-H^;^ + ^^=o, 



et la vaiiabte y a désignant la dislance de l'ofigine au pian langent 

 en (X, Y, Z), M. Darboux pose 



& — C.+ - 



y. 



et trouve pour équation dilTérentielle des lignes de courbure 



oit les accents indiquent des dérivées relatives à a et 



? = «/(5') = a(« — «)(^ — b)(y.—c). 



Dans le cas où/[ol) se réduit à un polynôme du second degré, un artifice 

 ingénieux lui permet de ramener l'intégration de (i) à des quadratures de 

 différentielles algébriques. Au point de vue indiqué plus haut, si l'on pose 

 alors 



'/" . , "' » 



dx > T . • 2 • 



l'équation — -^ 4- o) -^ = o est telle que la résolvante en i'-r) possèdela 



1 f)x Ou ' \"'V 



solution rationnelle dans le domaine |cï| 



dz 



az y- 

 dîi) 



u'(i — m)' 



