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le groupe de rationalilé est 



z'= sz + a, £^=1. 

 En d'autres termes, 



du -t- 73 dx , 

 y = ^'- 



est une différentielle exacte. 



La même forme de mulliplicateur convient à toutes les équations -y- + rr(:=o 

 pour lesquelles w est une fonction de u et a définie par la relation implicite 



«'(l — nT)=:57'9(0(H 



quelle que soit la fonction ^. Si l'on prend pour Ç/ un polynôme du troisième 

 degré a' -f- . . ., on trouve une équation qui donne, si l'on fait u = it puis 

 £ = après suppression de £-, le cas traité par M. Darboux. C'est l'étude 

 de ce cas envisagé comme cas limite qui m'a conduit à la solution du cas 

 général. 



3. Supposons que le polynôme cp commence par a* (ce qui exclut le cas 

 particulier précédent), cp"^' = 24 et l'équation à étudier 



du\- , f du\ u- 



se conserve par la transformation ?/ = .^- Si l'on pose 



co= = — 4 9 «■' H- «'( v"— 2 9©") — 4 9- (/, 



la même transformation remplace l'équation irrationnelle 



du «cp'+ 'ji 

 do. 20 



par la même équation en /, où w est changé de signe. 

 Il s'agissait d'abord de rechercher si pour l'équation 



. , , , dz 110' -i- '>> dz 

 dcx. lo au 



(qui n'admet pas de solutions rationnelle) la résolvante en ( -j^ j peut pour 



