SÉANCE DU I''' MAI 19II. II 47 



une valeur convenable de n posséder une solution rationnelle dans [w]. Si 

 l'on pose 



hi) - — û — ' 



où K„, K,, R sont des polynômes en (m, a), R est un produit de so/ulions 

 particulières dlgèhriques. Les seules lignes de courbure ulgéhriques sont les 

 sections de la surface par les plans principaux et les cercles. 



Le résultat définitif est le suivant : On doit prendre n ^ 5 et la valeur de 



( -j- 1 peut s écrire 



\àiij «(Ko— o)K,) 

 avec 



Ko=H[o'{«--t- O) -t- ll0{'2X-h /")]. 



K,=i«^— 9. 



Ainsi, dans le cas général, l'équation des lignes de courhure s'intègre par 

 une quadrature de différentielle totale attachée à la surface Çoi, u, a.) du 

 neuvième ordre : 



V «(K„— wK,)\ 39 ; 



son groupe de rationalité est :■' = tz -\- a, i^ = t . 



4. Ce résultat simple ne s'est pas présenté le premier. La recherche de 

 l'expression de K„, K,, R m'a conduit à 



dz\^ Ko+cok, 





4«^2,i, 



où Sj, S, sont les produits respectifs des solutions particulières alj,^ébriques 

 M -+- x(a — a) et M H- (a — l)){y. — c) et où l'on a posé 



2 a { Ko + w K, ) =; ( fo + (7, ) ( w — a, ). 



On rclrouve aisément comme cas limite le résultat obtenu par M. Dar- 

 bou\. L'étude de celle question et de quelques autres, en particulier des 

 relations qui lient les coordonnées (a, [5, a', [3') de M. Darboux aux coor- 

 données elliptiques ( W. Iloberts), fera l'objet d'un travail étendu qui sera 

 publié ailleurs. 



