SÉANCE DU 8 MAI 1911. 1219 



GÉOMÉTRIE DE SITUATION. — Sur les surfaces cubiques simples^ 

 Note de M. C Juel. 



La théorie des droites situées sur une surface algébrique du troisième 

 degré est très connue, mais il semble qu'on n'ait pas remarqué que cette 

 théorie, tant qu'il s'agit d'éléments réels, est tout à fait indépendante du 

 caractère algébrique de la surface. Désignons par une surface simple une 

 surface continue et fermée (dans le sens projectif) dont les plans tangents 

 et les rayons de courbure principaux varient d'une manière continue le 

 long de la surface, et par son ordre le nombre maximum de ses points d'in- 

 tersection avec une droite; alors on aura le théorème suivant : 



Une surface simple de troisième ordre sans points doubles et non réglée con- 

 tiendra toujours 3 ou 7 ou i5 ou 21 droites. 



On commence par établir que la surface contient au moins une droite. 

 Il résulte en effet de l'imparité de l'ordre de la surface gauche, lieu 

 des droites qui rencontrent en des points distincts trois sections planes, 

 qu'elle est coupée par une quatrième section plane en un nombre impair de 

 points ne se trouvant pas sur les sections données. 



Soit a une telle droite. Alors nous considérons le contour co de la pro- 

 jection de la surface F^ sur un plan -, le centre de projection étant pris 

 dans un point P de co. Cette courbe sera de l'ordre 2 ou 4; car, par un point 

 P arbitraire d'une courbe plane simple, n'étant pas nécessairement algé- 

 brique, passent 2 ou 4 droites tangentes à la courbe (^'). Lne droite arbi- 

 traire du plan - passant par la trace A de a coupera co en 2 ou o points dif- 

 férents de A, cjui en est un point double ou un « point isolé ». La courbe gj 

 peut avoir plusieurs branches mais une tangente à une de ces branches, à 

 savoir la trace du plan tangent à F' en P, passera toujours par A. Mais dans 

 ces circonstances une seconde droite m tangente à la même branche 

 passera par A. Le plan (Pm ) est tangent à F' en un point Q, et si Q est un 

 point hyperbolique de la surface, il coupera F^ en deux droites autres 

 que a. 



Pour cet examen il faut distinguer deux cas : 



Si A est un point isolé sur oj il nexisle pas de plans passant par a qui coupent la 

 surface (ailleurs qu'en a) en des courbes p. tangentes à w. Il suit de là que a est coupée 

 ou par chaque courbe y. ou par aucune de ces courbes. Le dernier cas est impossible, 



(') Voir Indledning i Laren o/n grajiske kurves, § k (résumé p. 81) {Kgl. Danske 

 } idensk. Selukab., t. X, 1, 1899). 



