1220 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



a n'étant pas clans ces circonstances située sur F'; le plan (P/?i) coupera donc F' en 

 trois droites. 



Si au contraire A est un point double de w il faut recourir à la théorie des courbes 

 simples planes du quatrième ordre que j'ai donnée autrefois ('). Cette théorie nous 

 montre qu'alors on aura nécessairement une tangente double p de gj. 



Cette droite sera la projection d'une droite q située sur F' et q ne pourra pas passer 

 par Q puisque p ne peut pas passer par A. Le plan (flQ) coupera donc F^ en deux 

 droites outre en o. 



Nous avons maintenant démontré qu'une surface simple du troisième 

 ordre (^sans points doubles) contiendra toujours 3 droites formant un triangle. 



Pour montrer que le nombre des droites sur la surface est au plus de 27, 

 il suffit de démontrer que par une droite de F^ on ne peut faire passer plus 

 de 5 plans qui la rencontrent encore en deux droites. 



Supposons en effet que a soit rencontrée par six droites i,, b.^, ..., h^, 

 qui se trouvent en des plans différents passant par a. Il est évidemment 

 impossible que quatre entre ces droites soient situées sur un même byper- 

 boloïde, F' étant alors composée de cet hyperboloïde et d'un plan. 

 Il existe donc cinq droites c,, c^, ..., c^ coupant quatre des droites />,, 

 Z»2, ..., 65. Nous pouvons supposer ces droites c distinctes entre elles 

 et distinctes de a\ autrement nous pouvons substituer à ^5 la nouvelle droite 

 dans laquelle F'' est coupée par le plan (ab.). F' est supposée toujours sans 

 points doubles. Soit c^ coupée par b,, ..., />;, à l'exception de b^. Le 

 plan («60) rencontre F' suivant a et b^et encore suivant une autre droite </. 

 Les droites c rencontrent ce plan en cinq points dont aucun ne peut être 

 le point (rtio)i sans quoi la surface aurait un point double. Il faut donc 

 qu'une des droites b^ ou d soit rencontrée par au moins trois des droites c. 

 Soit d rencontrée par c,, c.,, c.,. L'hyperboloïde déterminé par b„ b.^, a 

 contiendra alors les quatre droites c,, c., c.,, a. Mais cbaque droite è coupera 

 assurément deux des droites c,, c.,, c.^ et en outre co. L'byperboloïde con- 

 tiendra donc, contrairement à l'hypothèse, toutes les droites b. 



Dans les cas oîi F' contient plus de 3 droites mais moins de 27, il faut 

 une discussion plus profonde du contour 0. . En somme on verra que toute 

 la géométrie de situation sur une surface algébrique du troisième ordre 

 pourra s'étendre sans aucun changement essentiel à une surface simple du 

 même ordre (sans points doubles) (-). 



(') Voir Indledning., § 4. 



(î) Voir surtout F. Ki.ein, Ueber Flâclien drilter Ordnung {Math. Ann., Bd. M, 

 p. 521). et H. -G. Zi;i:tiie.n, Élude des propru-lés de situation des surfaces cubiques 

 (Mat/i. Ann., Bd. MIK p. i). 



