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est salis faite dans tout fe plan à l exception de couronnes circulaires, dont la 



largeur totale à l'extérieur du cercle r est inférieure à e~'' ' . 



Le nombre positif o est arbitrairement petit. 



2. Je me propose de signaler ici quelques compléments de ce théorème 

 de M. Blumenthal, que j'ai obtenus à l'aide du théorème suivant : 



Si nous désignons par (^^^ un ensemble de points du plan z, dans lequel 



H ( s ) ne tend que vers zéro avec - ( /• = 1 s | ) , les modules des fondions entières 



H{z) el f{z) 



_„H1 = )_, 



sont des infiniment petits équivalents pour les points de l'ensemble (E) de 

 rayon r suffisamment grand. 



Ce théorème, qui est presque évident, nous conduit aux résultats 

 suivants : 



I. Si la fonction entière H(;) admet le cas d'exception unique de 

 M. Picard, la valeur exceptionnelle étant différente de zéro, nous obtenons 

 une nouvelle précision remarquable par l'extension du théoi'ème ci-dessus 

 indiqué de M. Blumenthal à tous les minima 



e~ 



OÙ m{r') désigne une fonction-type quelconque plus grande que logpi(r). 



L'extension est obtenue sous la forme suivante: 



.SV l'on exclut sur la circonférence de rayon r, assez grand^ certains arcs de 

 longueur total inférieure à 



e-.'"i'-i- 



lous les autres points de la circonférence satisfont à l'inégalité 



|H(;:)|>e-'"'"-''"*, ,«(,■) >logf.{,-). 



Ce résultat fournit visiblement un complément intéressant apporté au 

 théorème de M. Blumenthal, parce que la solution m{r) peut être choisie 

 notablement plus petite que l'ordre \j.(^r) de la fonctionWi^z). Il y a là une 

 nouvelle précision du théorème sur le module minimum concernant toutes 

 les fonctions entières qui présentent le cas d'exception unique de M. Picard, 

 la valeur exceptionnelle n'étant pas égale à zéro. 



3. IL Si nous posons : 



en désignant par |J.,(/'), \i'i{''), ■■•, ,"■«(,'■) respectivement des ordres des 



