SÉANCE DU 8 MAI IQII. 1227 



MM. Haar et Lebesgue en ont donné des exemples. Aussi est-il intéressant 

 de connaître des procédés de sommation de séries de Laplace d'une fonction 

 continue, qui convergent partout. Par une méthode analogue à celle qui 

 lui a donné de si beaux résultats sur la sommation des séries de Fourier, 

 M. Fejér a montré que les secondes moyennes de Cesàro de la série de 

 Laplace d'une fonction continue convergent uniformément vers la valeur 

 de cette fonction. Il peut être utile de noter qu'une méthode de sommation 

 employée pour la première fois par M. de la Vallée-Poussin ('), permet 

 d'arriver très simplement à des résultats d'une grande généralité. 



(S, o) et(&', 0) étant deux points de la surface sphérique, nous appelle- 

 rons y leur distance sphérique. L'élément d'aire au point (S, 5') sera 

 nolé da' = sin^ dz' dzi' . F(â,<p) étant une fonction de point sur la sphère, 

 nous aurons à considérer sa valeur moyenne au point (â, ç)). Au pôle, cette 

 valeur moyenne est donnée par la limite pour S^' = o de 



/("■)=^J^"f(-^'.9')^?'- 



Ceci posé, le théorème que nous avons en vue peut s'énoncer : 

 F (5, 0) élant une fonction sommable sur la sphère, la suite 



n 

 „ ,r~ . I rT?,r^l IK t , V" 2 A- H- I « ( « — I ) . . . ( M — A -4- I ) 



xfFC=!',^')P„{C0Sy)d<j' 



converge vers F(&, ç) e« tout point de continuité de la fonction ; la conver- 

 gence est uniforme dans tout domaine intérieur à un domaine de continuité 

 deVÇ::, ^); plus généralement, en tout point oii la râleur moyenne de F existe, 

 la suite S„ converge vers cette valeur moyenne. 



La démonstration de la convergence peut se faire, sans restreindre la 

 généralité, en supposant (3, o) au pôle du système de coordonnées sphé- 

 riques. S„ prend alors la forme 



f{l)%\ntdl+'S - — 

 x/ f{t)Vi;{coi,t)%\ntdt. 



n(n — i) . . .( n — A" -H i ) 

 (n -h 2) (n -+- 3). . .{n -+- k + i) 



(') Sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle et de leurs dérifées 

 par des polynômes et des suites limitées de Fourier [Bull, de l'Acad. roy. de 

 Belgique (Classe des Sciences), n" 3, 1908, p. 193-254]. 



