1228 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Faisant usage de la formule de Mehlcr 





ûJ\k+ i)>|; 



^'2(C0S< — COSVp) 



et de la relation 



SI n -i 4- > -^ ——- ; ( 2 A- 4- 1 ) SI n /■ 



A=l 



2«"(«!)'(«+i) / '\y . ■h 

 ^ ' cos — sin • - 



on ramène S„ à 



ou 



( 2 /( ) ! \ " 2 y 1 



sin J-(7ij; 



Iv«,n = i , sinf / cos-i- 



T^(2«)! y, V 2/ v/2(C0Si — COS^j;) 



Or, on voit sans grandes difficultés que K(«, /) est une fonction positive, qui 



tend uniformément vers zéro avec - dans tout intervalle o-^j^^^tt. En 



effet, pour de grandes valeurs de /?, K(//, /) est inférieur dans(£,u) à 



(/( + i)\l~ivk ( £ \-" r, 1 

 - 'cos- 1 ■ De plus, 



n =-a 



1 K(ii, t)f/t = i. 



im / K (/(,<) r/< rrr I, o < £ ^ 71. 



Ces propriétés permettent d'obtenir très simplement le lliéorème énoncé. 

 La suite S„(&, cp) possède encore d'autres propriétés intéressantes, celle 

 entre autres de rester dans un domninc comprise entre la limite supérieure 

 et la limite de la valeur moyenne de la fonction dans ce domaine. On peut 

 même voir que S„ converge vers la valeur moyenne de la fonction en tout 

 point où celle-ci est dérivée de son intégrale indéfinie (superficielle), donc 

 presque partout. De même, la suite des dérivées de S„ est encore utilisable 

 pour l'approximation des dérivées de la fonction F. Les résultats obtenus 

 s'étendent naturellement aux séries de polynômes de Legendr». 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — De la r>iscosité dans le mouvemcnl 

 des fils flexibles. Note de M. Louis Roy, présentée par M. P. Appell. 



Pour obtenir les équations du mouvement d'un fil flexible, on peut écrire, 

 d'après les principes de l'Energétique, qu'on a pour toute modification 



