SÉANCE DU 8 MAI 19II. 123l 



on trouve 



c =: C cos 27r^ + u sin2T:^- 



A n'étant jamais nul en réalité, ch2a/ sera plus grand que i, de sorte 

 que les dénominateui's de C et de D seront toujours différents de zéro. Toute- 

 fois, si A est assez petit, C et D pourront être notablement plus grands que 

 t pour COS2 p/= I, et l'amplitude du mouvement aux différents points du 

 fil pourra être notablement supérieure à Tamplitude du mouvement de son 

 extrémité. Ce cas correspond aux pliénomènes de résonance observés dans 

 les expériences de Melde. 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur un développemenl en série et son application 

 an problème des ondes liquides par émersion. Note de M. H. Vergne, 

 présentée par M. Emile Picard. 



1 . Je considère une suite de fonctions 



(1) 9o(j^): '^d-V), -i-li^), ••■• ?i(--r), ..-, 



périodiques, de période i, ainsi que leurs dérivées premières et secondes; 

 les dérivées secondes 35j(.z') sont supposées développables en séries de 

 Fourier uniformément convergentes. Je dis que si la suite des o, forme un 

 système /'erwe (j'entends par là qu'il n'existe aucune fonction intégrable et 

 de carré intégrable, autre (pie zéro, orthogonale à tous les o,}, il en résulte 

 que toute fonction de carré intégrable orthogonale à tous les oj est une 

 constante. 



Pour établir ce point, il est permis, sans diminuer la généralité, de 

 supposer que la suite de fonctions (i) forme un système orthogonal et 

 normal. Alors, si l'on développe les fonctions o, en séries trigonométriques, 

 la chose devient évidente en s'appuyant sur un théorème énoncé par M . Riesz 

 {Comptes rendus, 18 mars 1907, t. 144, p. (517-618), relativement à un 

 système d'une infinité d'équations à une infinité d'inconnues. 



2. Du lemme précédent découle immédiatement le théorème suivant, 

 dont l'énoncé n'est qu'une légère modification de celui bien connu de 

 M. Schmidt (J/fl//i. Annalen, t. LXIII): 



Étant donnée une suite fermée telle que (i) de fonctions pét^iodiques, de 

 période i , possédant en tout point des dérivées premières et secondes ; si le sys- 

 tème des dérivées premières 9,,(^) (^st orthogonal, toute fonction pério- 



