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dique f(x) de même période i, el admettant une dérù'ée première f'(x) de 

 carré inlégrable, est développahle en une série absolument el uniformément 

 convergente, suivant les fonctions 



oit o, représente la valeur moyenne de z,, ( .r ) dans l'intervalle (o — i ). 



3. Ce théorème trouve son application dans le problème suivant de 

 Physique mathématique, qui se pose dans la théorie des ondes liquides 

 par émersion (' ) : il s'agit de déterminer une fonction o{x,y,t) définie à 

 l'intérieur d'un contour C du plan des xy et satisfaisant aux conditions sui- 

 vantes : 



équation indéfinie : Ao = -r— ^ h = o, 



0.T- dy'^ 



(2) { Gonililion à la frontière : — '- =c(i) — '-} 



' rln ^ ' Ot- 



Eial initial (pour < =0) : = 0, —^^f(s) (sur le contour C) ; 



S désigne l'abscisse curviligne d'un point quelconque du contour C, et c(s) 

 el/(s) sont deux fonctions données sur ce contour. 



Si nous cherchons à satisfaire aux deux premières équations (2) par des 

 solutions simples de la forme 



sin(s/Jt)lJ{.r,r), 



nous trouvons, pour déterminer U(.r, v), les conditions suivantes : 



( Equation indéfinie : AU = o, 



I Condition au contour L. : = — f{c(s)i]. 



( dn 



Si k est quelconque, ces équations entraînent U = o. Mais il existe une 

 infinité de valeurs de k, 



" =- o • "Il " 2 • • • • ) "m • • • • 



toutes positives (sauf la première), et auxquelles correspondent respective- 

 ment des solutions 



U.,=;i, U„ U„ ..., U,. ..., 



pour le système (3). Déplus, si Ton appelle U,(5)la valeur que prend U,(.'r, v) 



(') H. VliiiONE. Coiitriliiilioii à la ihéorie îles ondes /i/j tii (1rs ( Thèse, Gautliier- 

 Villars, 1909, p. 53 el suiv. ). 



