SÉANCE DU 13 MAI 1911. 1291 



façon que les coefficients de l'équation soient entiers, ce qui est possible 

 dans le cas considéré. 



Les discriminants de ces équations sont respectivement f«x v) et 



(9 X /i X yy, n étant la norme de gj. Cette norme est un produit d'entiers 

 rationnels premiers, diflérents entre eux et de la forme "ix + 1 . Récipro- 

 quement d'ailleurs, un tel produit est la norme de trois entiers de K(a) ), 



vérifiant les conditions précédentes, Fun, et seulement l'un d'cu\, vérifiant 

 la congruence (1). 



2. Dans le corps K(ô) défini par les racines 0, 0', 0' de (1) ou de (2) on 

 peut prendre pour base des entiers i, 0, . et le discriminant du corps est 

 par suite, suivant le cas, rr ou 8i«-, ce dernier nombre étant le discrimi- 

 nant de deux corps distincts. 



I )onc à tout entier rationnel N sans diviseur carré et n'ayant que des divi- 

 seurs premiers de la forme '?)X -V- i correspond trois corps ahèliens ayant pour 

 discriminants respectifs N", 81 N', 81 N" et réciproquement ( ' ). 



Si, suivant le cas, j ^ 3 ou j^- ^ i , on peut prendre pour base des entiers 

 I, 0, 0'. On a d'ailleurs entre 6-, 0, 0', l'une des relations 



{lins) Ô*= =^ fj + ^V i -^ , 



(■i his) 6»- = (a^ -h j)5 -f- j'0'+ 2)îîra . 



.'i. On a des formules analogues pour 06' et 0'-, ce qui conduit à la 

 représentation des entiers du corps K(0) par des Tableaux à termes 

 entiers, suivant la méthode que j'ai indiquée dans une récente Note (-). 

 En appliquant alors le procédé de recherche des idéaux indiqué dans cette 

 même Note, on trouve aisément les résultais : 



Pour qu'un nombre premier ^, différent de 3 et non diviseur du discri- 

 minant (les cas exclus sont très faciles à étudier directement), soit la norme 

 d'un idéal premier du premier degré, il faut et il suffit que la congruence (') 



f{x)^o (modp) 



( ') Il y a excepLion pour le nombre i auquel correspond un seul corps de discrimi- 

 nant Si défini par les racines de l'équalion x'' — 3x -h i =^ o. 

 (-) Comptes rendus, 21 novembre 1910. 

 (^) Pour des conditions analogues, cf. Sommeh, Vorl. iiber Zaldenlheoi ie. 



