SÉANCE DU 22 MAI 1911. 1371 



commulalifs et pseudo-nuls, généraux. Parmi ces groupes (s), on peul 

 distinguer deux catégories, qui paraissent présenter des particularités inté- 

 ressantes. 



Supposons que le déterminant caractéristique | pE — Sj, |, décomposé en 

 ses Elementarleiler, admette gi fois le facteur p'" ;/ = o, i, ...,^; 

 Po=P'-> go = g'i '" = ^iPigr-, P>Pi> •■■>Pk[- On a S'; = o ; x^^' ^ o. 

 Reprenons les nombres //x | A == i , 2, . . ., /j {, définis comme dans ma Note 

 du 1 2 décembre, et posons 4 = Ap_>+i , /i^'Sh^S. , .Shp. 



Définition. — Sera dit normal tout groupe (î) qui possède la propriété 

 suivante : pour tju'un nombre y de (e) soit une puissance exacte a-' 

 (a = I, 2, . . ., yo -t- i), il faut et il suffit que les m coordonnées /^ àe y satis- 

 fassent à un système (H^^,) de \{„ ^ équations linéaires, homogènes, à 

 coefficients constants. 



Voici les conséquences de la définition. On a Hç= H^,, -1- 4. Les H,., 

 équations de (Ho_,) figurent parmi les H, équations de (H^). 



I. La matrice S(.r) peut se mettre sous la forme 



(o) ?>{.v) = [l^y{x) iT.X, fi, V= 1.2, ...,/)!, 



OÙ liy.{jc) est un tableau à />, lignes et /^colonnes, constitué par des éléments 

 de S.r. De plus 4^(.t) = o pour [Ji> X. — IL Les variables x^, les unités £„, 

 les quadratiques_/'a(;r) peuvent être réparties en systèmes X),, E), F^ (définis 

 connue dans ma Note du i3 juin 1910), le système d'indice X )X= i, 2, . . .,yo{ 

 comprenant 4 termes. — III. Le produit d'une unité de E^ par une unité 

 de Ev ne dépend (jue des unités des E^ (t ^ iji -h v) . — IV. Dans une (juadra- 

 tique/ct, du système F), une variable de x^ ne multiplie que des variables 

 des systèmes X,, X^, ..., X>,_(i. — V. Les éléments du tableau h.^{x) ne 

 contiennent que les variables de X,, Xo, . . ., Xx_|i. — VI. Prenons à volonté 

 p nombres, 4 formant une suite non croissante et admettons que S^ puisse se 

 mettre sous la forme (o) ci-dessus. Pour (jue le groupe (t) soit normal, il 

 faul et il suffit alors que la malrice S'.~' | a = i, 2, . . ., yy { ait le rang 

 m — Hj_, ; H,_, = /, -h . . . -^ ia~p. Les entiers g, et />, relatifs aux Elemen- 

 tarleiler se déduisent sans ambiguïté. 



Sont normaux tous les groupes de rang maximum, ainsi que les groupes 

 m — aires pour m <] S. Le groupe non normal le plus simple est le groupe 

 quinaire (e) = (o, o, -j-x^x.,, x']., xl). Si l'on pose y = x'- , on a j, =j2= o 

 et aussi 7;; = 4,>v,. 



Passons aux groupes quasi-normaux. Dans tout groupe (e) il existe un 



