SÉANCE DU 29 MAI 1911. ïl\B() 



En étudiant l'exemple simple de la surface 



x^ -h r' 



et posant 



dy _ 



) = „. 



j'ai d'abord reconnu que si l'on désigne par 



P — V' - 4 + 3ay. Q — xy — 4, 



les polynômes P, Q qui satisfont à l'identité 



où 



R = x^ + _y'+6.c)- — 8, 



le quotient — ~ "^ e^Z le cube d'un maldplicateur . En d'autres termes, les 



lignes asymptotiques sont définies par la quadrature de différentielle 

 totale 



y dy + (i + \/i — xy^ dx 



df- 



(F-f-wQ)' 



2. Le résultat, où les 27 droites sont en évidence, m'a conduit à recon- 

 naître que l'expression 



(I'4-ç.iQ) '^[tdy + {s + ',i)dx] 



est une différentielle exacte, pourvu que z, regardé comme fonction de x 

 et JK5 satisfasse à deux équations linéaires du quatrième ordre qui expriment 

 que le polynôme o-j = r-l- ism -t- tm- divise le polynôme 



d^z /dy \ 



* dx'' \dx / ' 



Ce cas comprend évidemment celui où z est un polynôme quelconque du 

 troisième degré en x, y. 



J'ai été ainsi amené à une étude systématique des relations linéaires identiques entre 

 les polynômes a, r=/?+ qm, u^, ffj, . . ., qui m'a conduit à un grand nombre de propo- 

 sitions particulières relatives à la détermination des asymptotiques, des lignes pour 

 lesquelles 0-3=10, etc. sur une surface quelconque. Je donne ici les deuv plus simples, 

 me réservant de revenir longuement sur ce sujet : sur les surfaces pour lesquelles a» 

 et CTj ont un facteur commun, les asymptotiques correspondantes s'obtiennent par la 



