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 quadrature de cXj ^ {dy — nidx); sur les surfaces pour lesquelles ct, et Tj ont un fac- 

 teur commun, les lignes u^^o correspondantes s'obtiennent par la quadrature de 



o'» * ( (^.y — '" d.r ) ; e te . 



Il y aura lieu d'étudier les rapports entre les classes de surfaceè ainsi obtenues pour 

 lesquelles le groupe de rationalité de l'équation des asymptotiques est le même, et 

 celles dont les coordonnées s'obtiennent explicitement parles formules de M. Lelieuvre 

 avec des fonctions arbitraires des arguments des asymptotiques. 



3. Soit 



ii(,r,j-,5) = o 



l'équation, mise sous forme entière, d'une surface du troisième degré : en 

 différentianl totalement trois fois cette équation, on obtient un résultat qui, 

 pour 



se réduit à 



ou 1 on a pose 





V / .s 'U df ôf ôf df ^, . 



•' ' d:r dy Ox à y dm 



Il exprime simplement que pour chaque ligne asymptotique ( -^ ) ^3 est 

 l'inverse du cube d'un mulliplicateur. En d'autres termes, 



( -rr ) '^3' { dy — mdx)^idf 



est une différentielle exacte. (Les surfaces réglées sont exclues.) 



4. Ce résultat s'étend immédiatement à la détermination sur les surfaces 

 du quatrième degré des lignes pour lesquelles 0-3=0 (tangentes en chaque 

 point à la section de la surface par la paraboloide du second degré oscula- 

 teur); pour ces lignes 



est une différentielle exacte. 



De même sur une surface algébrique de degré n, il ^ o, les lignes pour 

 lesquelles it„ , = o sont données par la quadrature 



d/=[—\ a,/'(dy-mdT); 



mais il y a de nombreux cas de réduction. 



