SÉANCE DU 29 MAI 191I. l46l 



5. On a vu le rôle que jouent dans la détermination des asymptotiques des divers 

 ordres (0-2=0, 0-3=0, ...) les relations linéaires identiques entre les différentielles 

 rf^s, d?z, ... : ces relations, rencontrées par Halphen pour les degrés 3, 4. 5 à l'occa- 

 sion de recherches sur le contact des surfaces, ont été signalées d'une manière générale 

 par M. Darboux {Bulletin des Sciences math., 1881); j'ai fait pour les surfaces de 

 degré 4 ou 5 une étude systématique de leurs conséquences, dont je donnerai prochai- 

 nement les résultats généraux. 



Je ferai observer en terminant qu'il suffit de transformer convenablement les coor- 

 données de droites en coordonnées de sphères pour obtenir des résultats relatifs aux 

 lignes de courbure; je me réserve d'y revenir en détail. On remarquera, par exemple, 

 l'analogie entre l'équation des lignes de courbure de la surface des ondes et celle des 

 asymptotiques des surfaces du troisième degré. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les congruences linéaires de coniques dotées de deux lignes 

 singulières, ou d'un point principal et d'une ligne singidiére. Note 

 de M. LuciEX Godeaux, présentée par M. G. Humbert. 



I. Considérons les coniques s'appuyantendeux points sur une courbe C,, 

 d'ordre X,(>2) et en quatre points sur une courbe gauche C., d'ordre 

 ^2(=4)i elles forment une congruence i^. Proposons-nous de déterminer 

 C, et C2 de manière que S soit d'ordre i. Désignons par n la classe de la 

 surface enveloppée par les plans des coniques de E, par v le nombre de 

 coniques de I situées dans un de ces plans. 



« Le lieu des coniques de 2 dont les plans passent par un point P est une 

 surface F, d'ordre 2/?v -h i. Deux surfaces analogues à F ont en commun, 

 outre les courbes C,, C,, nv coniques de Z et certaines droites qui se pré- 

 sentent comme des coniques dégénérées de S. Ces droites peuvent être des 

 quadrisécantes de C, bisécantes de C,, elles sont alors simples pour F; ou 



des quadrisécantes de C.,, elles sont alors multiples d'indice ( ^' j pour F; 



ou des trisécantes de C^ s'appuyant sur C,, elles sont multiples d'indice 

 \^ Xj pour F; ou enfin des bisécantes communes aux courbes C,, C^; elles 



sont dans ce cas multiples d'indice ( '~^) pour F. D'une manière géné- 

 rale, si l'on a respectivement />,, z».,/),, />.. droites de chacune de ces catégo- 

 ries, et si la surface F passe q^ fois par C, , q^ fois par Cj, on a 



(2 /(v -h l)'= 2 /( V H- ).,97 -+- y^ql -t--r, 



étant posé 



