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Une conique de S rencontre une surface F à laquelle elle n'appartient 

 pas en des points de C,, ou de C,, donc 



a«v + 1 = g-, + 37.2. 



En éliminant /(v entre ces équations, on a 



(>>. — 4)'/?. — 2(2</,— i)ryj-+-(/., — l)'7î +'/,-hj;—i = o. 

 1/2 est réel, donc 



(4 >., + >.2 — >., h) 'A - '^■■1 ('/i — ') — (>>2— 4)-i' -3 = 0, 

 c'est-à-dire, puisque }w^4i 9i = i? 



/l).o-+->.2— >.i>-2>0. 



Les valeurs extrêmes de 'kn\i P\i Pn P^t l'i sont ainsi déterminées et 

 l'on trouve pour les congruences cherchées, les cas suivants : 



i'' C, est une courbe gauche hyperelliptique admettant une infinité 

 simple de 2v -- sécantes et C^ est une quartique gauche elliptique s'appuyant 

 en 2 (A, — i) points sur C,. 



2° C, est une courbe plane d'ordre -it -\- i ayant quatre points /-"i'''^* sur 

 la quartique gauche elliptique C^ ; C, est hyperelliptique de genre infé- 

 rieur à /. 



3° C, est une cubique gauche et C2 une quartique gauche rationnelle 

 s'appuyant en six points sur C,. 



4° C, est une conique et C^ est une sextique de genre deux s'appuyant 

 en six points sur C,. 



5° C, est une conique et il., est une quiulique de genre deux s'appuyant 

 en quatre points sur C, . 



G° C, est une cubique gauche el Co est une quintique à point triple 

 s'appuyant en six points sur C,. 



Ces congruences avaient été rencontrées par MM. Montesano {Ueml. di 

 Napoli, 1895) et Vieri [Aiti di Torinu, iHgJ). 



II. Considérons les coniques passant par un point fixe O (point principal) 

 et s'appuyant en quatre points sur une courbe G d'ordre A, et supposons 

 que ces coniques doivent former une congruence linéaire^. Si v est le nombre 

 de coniques de S situées dans un plan passant par O, la surface F, lieu des 

 coni([ues dont les plans passent par un point P, est d'ordre 2v -)- i et a en O 

 un point multiple d'ordre v -1- i. Si p est le nombre des bisécanles de C 



