SÉANCE DU 6 JUIN I911. l54î 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Un théorème général sur les équations intégrales 

 de troisième espèce. JNote de M. Emile Picard. 



1. On peut appeler équations intégrales de troisième espèce les équations 

 fonctionnelles du type de l'équation de Fredholm, susceptibles de la forme 



(■) 



h{j.-)f{j.-) + if K(,r, y)/{r)dy= o(j^-), 



oùy(.r) est la fonction inconnue, pour lesquelles la /onction h{x) change de 

 signe en s'annulant dans l' intervalle (a, h). 



J'ai énoncé, il v a quelque temps (Comptes rendus, 28 février 1910), une 

 proposition générale sur ces équations, qui peut être complétée en faisant 

 quelques hypothèses complémentaires sur K(a7, v) : c'est ce que je me 

 propose d'indiquer dans cette \ote. 



Il suffira de se borner ici au cas où Ton a 



/((.r) = -'- {a<o<b). 



En représentant par / la plus grande des quantités — a et h, nous 

 supposons que K (x, y) est une fonction holomorphe des variables 

 complexes a- et y dans leurs plans respectifs à l'intérieur des cercles de 

 rayon p supérieur à/; nous désignons par M le module maximum deK(ir, y) 

 dans ce domaine. 



2. En posant 



F(,r)=.r/(.r), 



nous envisageons l'équation 



' I. -^ 



en représentant par L le champ d'intégration formé des segments (a, — y]) 

 et ( H- £. h), en désignant par £ et ■/) des quantités positives. 



L'équation (2) peut être résolue par la méthode de Fredholm, et nous 

 avons cherché, dans la Note citée, ce qu'il advient de la solution trouvée 

 quand e et yj tendent vers zéro. 



3. La fonction entière D(a ), qui joue un r(Me essentiel dans la théorie de 



