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1^4^ ACADÉMIE DES SCIENCES 



l'équation de Fredholni, a ici pour terme général 



— — djr,djL:,...djc,,, 



L,- correspondant pour a,- à l'ensemble des deux intervalles (V/, — y]) 

 et (-f- £, i) ; quant à K(;.;; • ; J;;), il représente le déterminant habituel. 



Or on reconnaît que si l'on fait tendre îetv) vers zéro, le rapport - ayant 

 une limite déterminée, le coefficient de 



>." 

 est, en valeur absolue, inférieur à 



«^M-'Hiog-^ + 2iog('i--)n". 



La fonction D(a), entière en X, peut alors être très facilement étudiée en 

 tant que fonction de 



log-, 



C 



et l'on arrive à la conclusion (') que D(a) est une fonction entière de 



I ^ 

 log -. 



."}. Des circonstances analogues se présentent pour la fonction D, {x, l;\) 

 de Fredholm. Le terme général de cette fonction entière en À est 



/ I.2...rt / / 



, -3", -yi, • ■ ■ • -3?;, 



tÂ. I tAj 9 • a t ÙC* •• 



dxf dx, . . . dx„ , 



et l'on reconnaît qu'elle est aussi à la limite une fonction entière en log-- 

 Elle admet le pôle simple / = o. 

 La solution de l'équation (2) est donnée par la formule 



F{x)=^ix)-if ^'^^^'y\ {/)d/ 



(') 11 n'est pas en réalité nécessaire de supposer, pour établir ce résultat, que 

 ï^(^) j) est liolomorphe dans un domaine aussi étendu que celui du texte. En s'ap- 

 puya nt sur le résultat précédent, on peut montrer qu'il suffit de supposer que K{a-,y) 

 esl bolomorphe autour de .r r= o, y = o. 



