SÉANCE DU 6 JUIN 1911. 1 565 



tout point de R, des fonctions analytiques de la variable x. toute solution 

 régulière est aussi analytique par rapport à x. 



Il en est de même pour les solutions régulières de l'équation 



à-= <^- _ /•/' àz\ 



si/ est, dans la région R et pour les valeurs qu'y prennent :; et ^. une 



fonction analyticjue de a:; et z, -j^- 

 Enfin, dans le cas de l'équation 



d'z J àz àz , 



y étant analytique en ;r et -, '-t^/> -t^i toute solution régulière est analytique 



par rapport à .r, si ses dérivées secondes sont continues (cette condition 

 est même un peu trop restrictive, il suffit que les dérivées premières 

 admettent un certain mode de continuité). 



Ces propositions se démontrent, soit par le calcul de la limitation des 

 dérivées successives de ; en un point, soil par l'extension au champ com- 

 plexe des méthodes d'approximations successives données pour le champ 

 réel. Les résultats obtenus découlent alors de l'analyticité. par rapport à x, 

 de la fonction (' ) 



u{jc, r)=z ^ / / ^.= e "' ■'■■'/( ç.-n) dl dr, . 



II. Les deux méthodes que je viens de signaler permettent aussi de 

 cas lie II -H I variables, pouK toutes les équations qui se ramènent à la forme 



n n 



Vd^ u du v^ au 



j^ d.r- dy ^ oxj 

 I 1 



La connaissance de la solution fondamentale permet, d'après les résultats de ma 

 Noie, la formation, pour l'équation proposée elle-même, d'une fonction de Green 

 fournissant la solution de tout problème aux limites relatif à un même contour. Mais 

 ceci exige deux séries d'approximations successives. 



(') Cf. E.-E. Levi, Reiidiconti di Palermo, t. \XI\', 1907; Annali di Matematica, 

 t. XIV, 1908. 



C. R., 1911, I" Semestre. (T. 15:, N" 23.) 20I 



