SÉANCE DU 6 JUIN I9I 1 . ïSGn 



mation poncluelle à deux variables prend l'une des formes suivantes, après 

 un changement de variables linéaires. 



( ^1 = S,. r 4-/(^,7), ( .r,=:S.r — r+/(x, )•■). ,^ ( .r, = Sx -{-/(j;, y). 



Nous supposerons | S, |, | S^l, ou | S |, différents de zéro et inférieurs à i ; 

 /{oc, y), 9 (oc, y) sont des fonctions holomorphes pour r = v = o et avant 

 un développement en série entière qui commence par des termes du second 

 degré. 



On peut, dans chacun des trois cas précédents, déterminer deux Joncliqns 

 holomorplics k (x, ■»'), u. {x, y), nu/les à l'origine et tel/es qu'après le change- 

 ment de rariahles 



it = }.(a-,y), i' = //(x,7); (^ = /.(.r,,j',), c, = p.(,r, .)•, ). 

 les transformations (a) (b) (c) prennent respectivement h^s formes réduites 



(A) ' (A') ' (*^) S ^"^S ^ 



La forme (A) vaut pour le cas où aucun des deux mulliplicatrurs S,, S.^ 

 de la transformation (« ) n'est égal à une puissance enlière de l'autre; la 

 forme (A) pour le cas contraire où S, = S;^(a^2, 3, ....); k est une 

 constante éiiale à o ou à i . 



Les fonctions cherchées \ (ic, y), ]x(x,y) sont fournies par des équa- 

 ticms fonctionnelles qui, pour le cas (b), par exemple, sont les suivantes : 



(0 "/.(j'i. y,) = S/(j-,7) —y.{a\y)\ ,a(.r,._)-,) =S,a(x, y). 



L'existence d'un pareil système de fonctions n'avait été établie jus([u'ici 

 d'une façon générale que dans le cas (A) ('). 



^'oici la démonslralion. pour le cas {b) par exemple, une maiche analogue s'appli- 

 (juant aux autres cas. 



Soient 3C„. y„ les nombres déduits de x, >■ en itérant n fois la transformalion {Ij). 

 On précise la façon dont x,,, y,, tendent vers zéro pour n infini en démontrant des iné- 



(') Voir Leai , Elude sur Irs éijualions fonctionnelles {Annales de la Faculté des 

 Sciences de Toulouse, t. \l, 1S97; Thèse, Paris, 1897). Pour les cas (V), (B), (C), 



M. Leau suppose | S | < -■ — Lattes, 5«r les équations fnnctinnnellis ( Annali di 



Malematica, 1906; Thèse, Paris. 1906). 



