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galités de la forme suivante : 



,. ( |^„|<A[|S|4-c]'' + B|S|''. 



'( Lv„|<C[|S| + £]"+D|S|''. 



où A, B, C, D sont indépendants de /; et où i est un nombre indépendant de ./•, y, n, 

 assez petit pour (jue |S| + £ soit inférieur à i. Ceci posé, on démontre tout d'abord 

 que, pour n infini, S^" j'„ a une limite qui est une fonction de x, y holomorphe dans 

 un certain domaine \.r\ < A, \y\ «< /( : cela revient à établir la convergence uniforme 

 de la série 



i(S-«-'j„+,-S-"r„)=IS-''-'(.r„^,-Sj„) = iS-»~'9(,r„.y„) 



dans ce domaine; cette convergence résulte aisément des inégalités (2) et du fait que 

 le développement de cp(d~„, j'„) commence par des termes du second degré. Si l'on 

 désigne par fj. (x, y) la limite dont on établit ainsi l'existence, on a 



limS-"-'j„+, — |i(.r.j). limS "J„+, = (-t{x,. j-,); 



d'où la deuxième des équations fonctionnelles (i). Cette première partie de la démon- 

 stration est la généralisation pour deux \ariables d'une méthode employée |)ar 

 M. Kœnigs dans le cas d'une variable ( ' ). 



On démontrera ensuite que S"""' [Sa'„-(- /i /JL(a'„, jKn)] <•> pour 11 infini, une limite 

 qui est une fonction holomorphe de .r, )• ; cela revient à établir la convergence uni- 

 i'orme d'une série dont le terme général est encore de la forme S~"~^ W(a:„, y„), 

 I'(.i', y) étant une fonction holomorphe dont le développement commence par des 

 termes du second degré. On vérifie immédiatement que la limite ^(.î", y) ainsi déter- 

 minée vérifie la première des équations fonctionnelles (1). 



2. Considérons une série deTaylor Sm„:;" dans laquelle m„+2 soit une fonc- 

 tion holomorphe donnée 0(m„^_,, u„) de «„+, et de ^^„; nous supposons Wo, w, 

 choisis dans le domaine d'un point double //, c'est-à-dire d'un point it tel 

 que 0(w, u) = II. L ne pareille relation de récurrence entre les«„ se ramène 

 aisémeni à une transformation telle que (a), (h), (c) ('). Nous supposons 

 |S||, I So I ou |S|, inférieui^s à i. On [mmiI utiliser les formes réduites (A), 

 (13), .... C'est ainsi que j'ai pu démontrer (•'), pour le cas (A), que la série 

 de Taylor définissait une fonction méromorphe ayant pour pôles simples 

 les points S7" Sr'^ (oc, [Rentiers >oV Ayant établi les nouvelles formes 



(') KoENiGS, Reclierclies sur les àa-iations fonction ncllrs {Annales de l'/ù'ole .Xor- 

 inale, i88/i)- 



( - ) Voir ma Note Sur la convergence des relations de récurrence (Comptes rendus, 

 2 mai 19 10). 



(') Sur les sériesde Taylor à coefficients récurrents (Comptes rendus, 00 mai 1910). 



