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( lesàro 



(2) (I - .r )-(/'■+') =y C;*'.r", 



rt — 



(3) (.-,r)-('-')2«„.c''=2S«''-'-"- 



n — rt — 



Si la limite 



(4) )im^=:S 



existe, nous disons que la série (i) est sommable par les moyennes de 

 Cesàro d'ordre X- et nous appelons S sa somme. 



Posons d'autre part, w désignant un nombre positif quelconque, 



(5) " a;,,((o)=2;«,-('^^ -'■)''■• 



;-=0 



Nous allons indiquer la démonstration du théorème suivant : 

 La limite (4) et l(i liinilr 



(6) Iim — T- 



existent en même temps et sont égales ( ' ). 



La démonstration de notre théorème se compose de la démonstration 

 des trois lemmes suivants : 



I. Lorsque la limite (4) existe, on a 



(7) >i>"^ = o. 

 / désignant un nombre quelconque <^ A. 



(') Ce ihéorème a servi de base à la plupart de mes recherches sur l'application 

 des moyennes arilhniétiques. Dans une \ote insérée dans ces Comptes rendus (5 juillet 

 1909), j'ai pensé pouvoir l'énoncer sous une forme plus simple, en ne faisant prendre 

 à 0) que des valeurs entières. Je me suis bientôt aperçu que cet énoncé était inexact. 

 Je liens à remercier M. Knopp qui me communiqua récemment des remarques inté- 

 ressantes sur ce point. Les moyennes (6) forment d'ailleurs un cas particulier des 

 expressions que j'ai appelées movennes typiques et dont la forme définitive se trouve 

 dans ma Noie du aa novembre 1909. 



