SÉANCE DU 12 JUIN 1911. l653 



II. Lorsque la limite (6) existe, on a pour tout nombre entier E <^ ^• 



(8) ■• ''" 



III. L'égalité (8) étant remplie pour tout nombre entier E <; /•, on aura 



La démonstration des lemtnes I et III ne présentant aucune difficulté, je me borne 

 à indiquer la démonstration du iemme II. Celle-ci devient aussi très simple, quand A' 



est entier. En eflTet, la /'f'"» dilTérence des quantités (j^ (« ), ct/, ( « -I- -j- 



2 



CTyt ( « -+- 7 j > • • ■. CTyiC* -t- ') fournil S„" à un facteur constant près, donc la relation (8) 



est vérifiée pour E:=o. En formant ensuite les différences d'ordre (/. — •)> (^ — ^)> •••' ' ' 

 on démontre la même relation pour E == i , 2, . . ., ( /.' — 1). 



Soit maintenant k non entier et, pour simplifier le raisonnement, supposons 

 d'abord 



(10) 0</><l. 



Nous n'avons donc qu'à démontrer l'égalité 



(..) Iim^=Iim^ = o. 



Nous pouvons supposer, sans re?treîndre la généralité, 

 (12) lin, Eii^^o; 



W = ao '>'< ' 



Posons 



S(<) = S;.''\ pour ;•</</■ + r 



et 



<}'i,{u) — /.[«oC" — 0)''-'-+- ai{ti — !)'■■-' + . . .4- a, .{il — '■)'■"']• pour /•< «'£/■ + 1, 



ce qui nous donne 



(i3) S(0 = 'j' f 'j',,iu)it- u)-'-c/ii, 



C. R., 1911, i" Semestre. (T. 152, N° 24.) 212 



