1728 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



paramètres directeurs de la tangente à cette courbe; enfin une courl)c C;, 

 dont les coordonnées X'|, \l, . . ., Xl'^^^, sont des fonctions de ;/., et qui est 

 /■,, fois isotrope; les paramètres directeurs des tangentes à cette cf)urhe 

 seront désignés par ce], -v".-,, . . ., -li).-.^,. Je pose maintenant 



, Y -\, + /,,,■+ /.,;^ +... + /.,„ ^^^ (. = .,., ...,2/,,+ .), 



(S) / Y , = X;- + y I ./•, + ^/i ^' + ■ • ■ + '/'■. ,-/„/.,-i ' (t = i, ...,2A-2+i), 



Y, = \, + /v, + /'.2^^ +...+ r/,,-^^^^^-rr (' = 1. ....2X-3+I), 



OÙ les quantilés/j,, (/,,/•, sont des fonctions arbitraires de «,, (/., /r, J'aurai, 

 d'après ce qui précède, 



(9) ':L(l\-+ld\'-+:Lcl\"'--\],p-\di,\-\- \J,_rildul-^V,rldul. 



Le noml)n' total des coordonnées ^ , \', Y" est n 



(10) /( = a(X-, -i- /,■,-!- /.-j) + 3. 



J'effectue, sur l'ensemble de ces coordonnées, une substitution orthogo- 

 nale à coefficients constants. Soient ;, , :^, . . ., ;„ les nouvelles coordonnées. 

 J'aurai encore 



II 



(11) ^ d7J=l],pldu\+y^,rildu\ + \},rldu\. 



Maintenant, je détermine les fondions p, y, /• cpii sont au nombre de 

 (A', + k.^ + X-.,) par les équations du premier degré 



(12) 7.;-h iV-^-^—o. Z64-(Z- = o Z„_,-i- <Z„=: o. 



qui sont an nombre de /•, -t- /o +- /•,. 

 Il restera simplement 



(i3) f/Zj + dZl-+- dTj'l = U ,/)/-_ dii] -h Vi,iildiii+ V.^rl^dul. 



On obtient donc un système triple-orthogonal. Au point de vue du degré 

 de généralité de la solution, il importe de faire une remarque. Les équa- 

 tions (12) sont au nombre de A-, -f- k, + k.j, il y a 2(A-, -h ^o) + 2 quantités Y 



et \ '; si donc 



/-, + /.•, -H /. 3 > a ( /.-, -t- /.s) -(- 2, 



on pourra déduire des équations (12) des relations contenant les Y" seuls. 



