SÉANCE DU 19 JUIN 19II. 1733 



dantes étant t el n variables a,, ..., a„ caractérisant OU : ces dernières 

 seront, par exemple, les coordonnées de la position de Dïi pour / := o. 



Prolongeons D/", suivant les différentielles totales dx,, ..., dcc„, prises 

 par rapport à «, , . . ., a„. On a D d.v,=: dii^, d'où le prolongement 



1 = 1 i = l 



qui définit la déformation infinitésimale du milieu fluide . On écrit : 



(4) D./=ii'"-^-^^-^ii---'- '^ 







ce qui donne la décomposition en une déformation pure (laissant invariant 

 un système de n directions orthogonales deux à deux) et une rotation 

 (laissant le ds'- invariant). 



On a encore, pour la variation d'un élément de volume et de la densité 



n n 



(5) D(<Yj-, cl.i„) =^ M,v((Ar,. . . . , dj-„). Dp + p^ ?/„rr o. 



/ = 1 1=1 



équation de continuité. 



On obtient facilement les systèmes linéaires qui définissent la rariation 

 des éléments k-uples (éléments infinitésimaux à k dimensions.) : certains 

 d'entre eux ont des propriétés remarquables; ceux qui correspondent aux 

 éléments /--uples et (« — <(-)-uples deviennent adjoints (dualité), quand on 

 multiplie par p les coordonnées de l'un des éléments. 



2. Pour n > 3, il n'y a pas en général de vecteur tourbillon, mais seule- 

 ment un complexe tourbillon, dont les a),;^ sont les coordonnées. Leurs 

 variations sont : 



n 

 (b) UtO,i.= (0,^-H^(M/„(,JA./,— M,,i.OJ,A) (20),^;.= -^^ ôœ~ j' 



/l = l 

 On a, par suite, les formules 



( 7 ) ^22 '^''' ^^' '^■^'' "^2 '"'•'•' ^'^' '^'^'■' 



