1734 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



qui donnent la varialion au Jlinr de lourhillnn. On peut considérer, sons le 

 nom de multiplicités de tourbillon, celles qui correspondent à un flux de 

 tourbillon toujours nul, c'est-à-dire dont les éléments 2-uples appar- 

 tiennent au complexe tourbillon. Ce sont encore celles pour lesquelles la 



circulation j "V iiidx^ est nulle, pour tout circuit fermé réductible à zéro. 

 Elles sont définies par l'équation 



( 8 ) 22 "'* '^*'' ^^'' ~ °' 



dont la discussion résulte de ce fait, que la forme canonique du premier 

 membre se déduit de celle de V«,r/.r, par l'identité invariante (') 



(9) 



^ diii f/j;, 1=^ 2 w,i dxi dxf. 



D'après (8) la condition pour que les multiplicités de tourbillon se con- 

 servent est (3>'-i. = Aco,^.. Elle est réalisée s'il y a un potentiel des accéléra- 



tions, cas où le flux de tourbillon lui-même se conserve. Les ^^^ se trans- 



P 



forment alors comme les coordonnées d'un élément (« — 2)-uple. Ce 

 fait constitue la généralisation des équations d'Helmholtz et conduit à 

 celle des équations de Cauchy : 



(10) 



-=^22;^"^ 



d& 



duj da/i 







d{x„ 



-r„) 



(^(«1 a„) 



De là résulte le théorème de Lagrange; mais il résulte aussi dans le cas 

 plus général w^.^. = Àa),v;, du fait que le système w^ = o est invariant, à 

 cause des écjuations (G). 



Pour la variation de la circulation, on a 



(II) 



D \ Uj dxi^2, ■'^"' ^^' "' — '^'^ "' • 



(/, ;, 



diZp 

 d. 



où fîffurenl 



[') Un produit dz^...dzp est ici un délerminanl 



"/, 5, . . . i-.p-.,, 



/xlifléienliations indépendantes. Cf. sur ce calcul, et l'ideiilité (9), (^aeita.n. Annales 

 Ec. i\orni. siip., 1S99. p. a^'i et aSi. 



