I74o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. Considérons un système S soumis à des liaisons non linéaires exprimées 

 pur les équations (i) que nous supposerons d'abord lioniogènes aux y' (fait 

 (pii existe forcément si ces liaisons sont indépendantes du temps). On peut 

 écrire ces équations sous la forme 



(4) 9'('/. 7„.4, --o^^, A=o ((- = .,2 A). 



n' 

 Certaines d'entre elles peuvent ne pas contenir -^ et les autres permet- 



' ^" 



Iront d'exprimer les -4 en fonction d'un corlaiii nombre de paramètres in- 



dépeudants y^, • . ., /j,„. 



Le système ['\) sera alors rij;oureusement équivalent à un système de la 

 forme 



(5) i J\{'l-t) = o 



' '/'i = '/;,"''■ (7-/^-0 7',, 1 = 7» '''«-!(''/• /'-O- 



Imaginons alors, d'une faron (juclconque, un système matériel S, dépen- 

 dant dew paramètres indépendants /),,...,yj,„; considérons le système formé 

 par l'ensemble de S, et de S où les paramètres c/ sont laissés indépendants 

 et assujettissons le système S + S,, délini par les paramètres indépendants 

 (], p, aux liaisons exprimées par les formules (5). Comme ces équations sont 

 linéaires aux c/', p' et qu'il en résulte, entre les y et les y', les relations (4) 

 et rien qu'elles, nous voyons que les liaisons non linéaires (4) sont réalisées 

 au moyen de S, et des liaisons linéaires (5). 



Supposons maintenant que les équations (i) ne soient pas liomogènes 

 pai' rapport aux y', elles permel traient d'exprimer les q' en fonction de cer- 

 tains paramètres^, c'est-à-dire de mettre le système (i) sous la forme équi- 

 valente 



(5) I j\('/-n = o 



' '/i =?i(7-/'- '/« = ?'A'/-/'- 0- 



(]ui, ne contenant que des équations linéaires par rapport aux dérivées, 

 permettrait de reprendre le raisonnement précédent. On aurait pu opérer 

 de cette façon pour le cas des équations liomogènes, mais le procédé 

 enq)loyé dans ce cas particulier montre que les liaisons non liii(''aires indé- 

 pendantes du temps peuvent être réalisées au moyen de liaisons linéaires 

 également indépendantes du temps. Nous avons donc ce résultat général: 



L(^s liaisons non linéaires peiwenl toujours se réaliser au moyen de liaisons 

 linéaires. 



