SÉANCE DU 5 JANVIER Jgi^. 25 



on en déduira 



I p d 



— , lanero — 



Or si l'on désigne par p^ et t„ les rayons de courbure géodésique et de 

 torsion géodésique en M de la trajectoire orthogonale des génératrices F 

 qui passe en M, on établira sans difficulté que 



d'où 



(') 



2, Ceci posé, soient, sur une surface S, M = const. elc^const., deux 

 familles de courbes orthogonales telles que les plans osculateurs des 

 courbes v fassent, en tout point M, un angle constant xs avec la normale à la 

 surface S et que les courbes u aient, en tout point M, un rayon de courbure 

 géodésique p„ et un rayon de torsion géodésique -:„ satisfaisant à la relation 



cosro sinnr 



rr: const. 



9g ^^' 



Etudions la congruence des droites tangentes aux courbes p = const. 



Soient S et S, les surfaces focales de celte congruence. D'une part, en 

 vertu de l'hypothèse faite sur les courbes r, les plans focaux correspon- 

 dants font un angle constant nr. D'autre part, en vertu de l'hypothèse faite 

 sur les courbes m, les points focaux correspondants M, M, sont à une 

 distance a; constante : on s'en rend compte facilement en considérant une 

 surface S obtenue en menant par tous les points M d'une courbe 

 particulière u les tangentes aux courbes r et en appliquant la rela- 

 tion (i) au segment de génératrice x = MM, de la surface réglée S circons- 

 crite à S et S,. Autrement dit, les deux focales Set S, se correspondent 

 dans une transformation de Bâcklund et sont par suite des surfaces à 

 courbure totale constante. D'où la propriété caractéristique que nous avions 

 en vue : Si sur une surface S les trajectoires orthogonales d'une famille de 

 courbes, dont le plan osculateur fait en tout point un angle constant cj avec 

 la normale, satisfont en tout point à la relation 



coscT sincT I 

 (2) 



a 



OÙ a désigne une constante, S est une surface à courbure totale constante ;• 



C. R., 191 '(, 1" Semestre. (T. 158, N« 1.) 4 



