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Les valeurs des constantes k et -(•' dépendent des hypothèses physiques sur 

 la divisibilité de la matière ; si l'on impose des limites à cette divisibilité, 

 on obtient des valeurs déterminées pour ces constantes ; si la divisibilité 

 est supposée indéfinie, la constante A' devient, à la limite, égale à — ce et 

 toute répartition autre que la répartition homogène a dès lors une probabi- 

 lité rigoureusement nulle. 



Les conclusions précédentes sont à peine modifiées si, outre la condi- 

 tion (i), on impose à la densité y une autre condition telle, par exemple, 

 que la suivante : 



(3) f y^dx = k, 



A étant une constante supérieure à Tunité. Parmi les fonctions j' qui véri- 

 fient les conditions (i) et (3), le minimum de B correspond à celles qui 

 prennent seulement deux valeurs j, et y.^, chacune de ces valeurs étant 

 prise pour des valeurs de x dont la mesure est la moitié de la mesure du 

 segment donné. Parmi les répartitions qui satisfont à ces conditions, celles 

 pour lesquelles les discontinuités sont les plus fréquentes sont, dans leur 

 ensemble, plus probables que les autres, de sorte qu'à la limite, dans l'hy- 

 pothèse de la divisibilité indéfinie, la répartition la plus probable est la 

 répartition totalement discontinue, et cependant absolument homogène^ 

 dans laquelle les deux valeurs y, et y^ sont aussi probables l'une que 

 l'autre dans tout intervalle, si petit qu'il soit. Une telle discontinuité 

 dépasse celle de toutes les fonctions qui peuvent être définies analyti- 

 quement ('). 



2. Les résultats précédents expliquent la nécessité où se sont trouvés les 

 physiciens, à la suite de M. Planck, d'introduire des hypothèses de 

 discontinuité dans tous les domaines où ils devaient appliquer les méthodes 

 de la théorie des probabilités. Sans de telles hypothèses, la notion même 

 de probabilité maximum devient inutilisable. Mais, d'une part, toutes les 

 difficultés relatives à la théorie des quanta sont loin d'être élucidées et, 

 d'autre part, il est bien dur, comme le faisait observer Poincaré, de 

 renoncer aux équations différentielles, à l'analyse du continu, incompara- 

 blement plus maniable que l'analyse du discontinu. Il est donc naturel de 



(') N'oif H. Lebesgue, Sur les fonclinns reprcsenlables analytifjiicment {Journal 

 de M. Jordan. 1905), el Iîmile Borel, Le calcul des intégrales définies, Chap. III, 

 § Il {Journal de M. Jordan, 1912). 



