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Irice O^oBoCst suriniïexionnellepourC: j'ai signalé ce fait (Comptes rendus^ 

 lo mars igiS); je suis revenu sur ce fait dans un pli cacheté remis à 

 l'Académie en juillet 191 3, montrant que la courbe (B) est coupée en trois 

 points confondus en B^ par l'une des génératrices^ isotropes de la sphère. 

 Pour *</î les trois conditions relatives à 0(7„Bo se réd-uisent aune; pour 

 s^p -\- \ elles sont automatiquement vérifiées. 



Tous ces résultats sont d'accord avec ceux de M. Darmois {Comptes 

 rendus, 22 décembre igij); la Note de cet auteur met d'ailleurs en évi- 

 dence le rôle des trois entiers que j'appelle/), q, i. 



Le degré de C étant m, le degré de (A) est 2/n — I^p. Les points à l'infini 

 de(A)sont tous sur le cercle de l'infini, le plan osculateur étant ou isotrope, 

 ou le plan de l'infini (d'une façon générale, tangent au cercle de l'infini). 



Une conséquence intéressante est la suivante : Si une surface S algébrique 

 a un système et un seul de lignes asymptotiques à torsion constante, ces 

 courbes sont algébriques, le cône asymptote de S se réduit au cône isotrope 

 (compté un certain nombre de fois). Même résultat si les deux systèmes 

 sont à torsion constante (surfaces à courbure totale constante), pourvu 

 qu'ils soient algébriques. 



;}. J'ai obtenu un grand nombre de types explicites de courbes (A) 

 unicursales. Elles sont classées d'après le degré du cône C et la nature des 

 génératrices communes à C el i. En me bornant aux courbes réelles, les 

 génératrices s'associent par couples de génératrices imaginaires conjuguées. 

 Si tous les couples ont un indice pair, ( B) est unicursale ; si tous les couples 

 sauf un, ont un indice pair, (B) est exprimée rationnellement au moyen 

 de / et d'un radical carré portant sur un trinôme du second degré en /: 

 disons alors que (B) est mixte; on peut l'exprimer rationnellement au 

 moyen d'un nouveau paramètre; si deux couples au moins ont un indice 

 iuipair, (B) n'est plus unicursale. Tous les exemples jusqu'ici connus se 

 rapportaient au cas d'une indicatrice (B) unicursale ou mixte : j'ai pu 

 obtenir des indicatrices (B) non unicursales, réelles. 



.le me suis livré à une étude détaillée des courbes (B) qui possèdent un 



plan ou un axe de symétrie, ou cjui par une rotation de — autour de Os 



reviennent coïncider avec elles-mêmes. J'ai démontré dans ce dernier cas 

 que si (B) est de degré 2(/m-f-/>), ne donnant que deux génératrices 

 communes à C et I, f/ =p, i = i(/in -h p),on a une infinité de courbes (A) 

 dépendant de ih-hi paramètres, réelles si jo<^/<«, toutes imaginaires 

 si p > hn (/> et n sont premiers entre eux). 



