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quantités w (en infinité dénombrahle) diverge, est non dense sur P (Comptes 

 rendus, t. 154, p. 1077). 



On m'a demandé à diverses reprises la démonstration de ce théorème, 

 qui m'avait paru assez simple pour le publier sans le justifier. Voici la 

 preuve que j'ai déjà indiquée aux personnes qui ont bien voulu s'en informer 

 auprès de moi. 



Je rappelle d'abord que la série w est dite converger au voisinage d'un 

 point M de P, s'il existe un certain intervalle J contenant M et tel que la 

 série des w correspondant aux i intérieurs à J converge. La non-existence 

 de J définit le cas de la divergence des w en M. 



D'abord a et ^ étant les extrémités de i, le maximum de chacune des 

 deux quantités 



|F(x;-F(«)| et |F((3) -F(x)|. 



où X varie de a à ^ surpasse — En effet, w est, par hypothèse, le maximum 



de la différence de F(.x') — ¥(x'), x et x' étant arbitraires dans i, quantité 



inférieure à 



|F(*-)-F(«)| + lF(,r')-F(«)|. 



Soient donc [jl le maximum de |F(a7) — F(a)| et pareillement ix' celui de 



|F(P) — F(ir) |. p. et ijl' sont l'un et l'autre supérieurs à - et d'ailleurs 



inférieurs à w. Les séries [a et «■ divergent ou convergent simultanément. 



Cela étant, calculons le quotient '^ pour chaque intervalle. Supposons 



que ce nombre soit la valeur d'une certaine fonction cp constante sur l'inter- 

 valle i correspondant. Il est évident que les points au voisinage desquels 

 cette fonction est bornée sont des points de convergence pour la série a. 

 Si donc nous montrons que l'ensemble des points de P au voisinage des- 

 quels œ n'est pas bornée est non dense sur P, la proposition sera établie. 

 L'hypothèse opposée est qu'il exi>te un intervalle w contenant des points 

 de P et tel qu'au voisinai^e de ch;icnn de ceux-ci, il existe, quel que soit A, 

 an intervalle i conligii à P t't donnant un nombre \j. supérieur à Ai. 



Soit A„ un nombn' posilii cioi-^sant indéfiniment avec n. Il existe dans co 

 un iiili'rvalle i, d'extn'mités a, [3, et dans i^ un point ^, où 



|F(^,) — F(a,)|>A,«,>A,|ï,-«,|. 

 A cause de la continuité rie F, il existe un intervalle a', a, adjacent à /', et en 



