SÉANCE DU 12 JANVIER I9l4- I"I 



chaque point duquel on aura 



|F(i.)-F(-^')l>A,U-,-x|. 



Dansa'ia,, intervalle situé dans co et contenant des points de P, puis- 

 qu'il est adjacent à /, , il existe un intervalle i^ d'extrémités ajp, et dans i., 

 un point ^j où 



donc un intervalle al a._, adjacent à i.,, situé dans co, contenant des points 

 de P, en chaque point duquel 



En continuant ainsi, on détermine une suite d'intervalles a„a'„, chacun 

 situé dans le précédent, chacun contenant des points de P et un point H„^, 

 intérieur à a„a'„ tels que, en tout point x de a„^., a'„^, , on a 



|F(t:„)-F(.^)l>A„U„-x|. 



Les intervalles a„_^,a„^, tendent vers un point de P, situé dans eux tous 

 et où, évidemment, la fonction F ne peut pas avoir une dérivée fini»'. 



On prouverait même, sans aucune difficulté, l'impossibilité (pic deux 

 nombres dérivés de F pour un même côté soient finis en tout point de P, 

 si l'ensemble des points de divergence de la série w est dense sur P. 



Le même genre de raisonnements conduit à l'énoncé suivant : 



Considérons la fonction ^(a;) nulle sur P et égale, dans chaqur inlnvalle 

 contigu à P, à l'excès de F sur la fonction linéaire coïncidant anc V aux 

 extrémités de ce même intervalle, '^i possède en tout point de deuxième espèce 

 de P une dérivée nulle, et l'ensemble des points (extrémités d^intervalles 

 contigus) où <!/ a un nombre dérivé surpassant en valeur absolue £ ]> < est non 

 dense sur P . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur des transj or mutions de fom lions <jui 

 font converger leurs séries de Fourier. Note de M. .IulksPài., pi cscntée 

 par M. Emile Picard. 



Soit y (n une fonction continue de période itz. On sait que l;i série de 

 Fourier de fi^t) peut être divergente aux points d'un ensembli" |)artout 

 dense ou bien qu'elle peut converger partout sans que la conv^rg -nce soit 



